Αρχείο ημέρας 13 Οκτωβρίου 2015

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOLZANO

ΥΠΑΡΞΗ ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

Σχολιάστε

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει x_o\in[\alpha,\beta] που ικανοποιεί μία ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής:
* Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ισότητας στο πρώτο μέλος, θέτουμε όπου x_o το x και ονομάζουμε h(x) τη συνάρτηση στο πρώτο μέλος.
* Αποδεικνύουμε ότι η h είναι συνεχής στο [\alpha ,\beta] και διαπιστώνουμε ότι h(\alpha)\cdot h(\beta)\leq 0.
* Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Αν: h(\alpha)\cdot h(\beta)=0\Rightarrow h(\alpha)=0\quad ή \quad h(\beta)=0
Οπότε είναι x_o=\alpha \quad ή \quad x_o=\beta
2) Αν h(\alpha)\cdot h(\beta)<0, τότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in(\alpha , \beta), ώστε h(x_o)=0.
* Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει x_o\in [\alpha,\beta] ώστε h(x_o)=0.
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b] →