ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Αν $f$ συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα $A.$ Τότε το σύνολο τιμών της $f$ το $f(A)$ θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε
$f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]$

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε
$f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσατότε $f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))$

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x)$ .

i) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
ii)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$ .
iii)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\sqrt{x}-\ln(9-x)=e$ έχει ακριβώς μια λύση.
Λύση
Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x)$ ορίζεται όταν:
$x\geq 0$
και
$9-x>0\Leftrightarrow x<9$
Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $A=\left[0,9\right).$
i) Έστω $x_1,x_2\in\left[0,9\right)$ με $x_1<x_2$ . Τότε έχουμε:

$x_1<x_2\Leftrightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$

$x_1<x_2\Leftrightarrow -x_1 > -x_2\Leftrightarrow 9-x_1 > 9-x_2 \Leftrightarrow \ln(9-x_1)>\ln(9-x_2)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -\ln(9-x_1)< -\ln(9-x_2)$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
$\sqrt{x_1}-\ln(9-x_1) < \sqrt{x_2}-\ln(9-x_2)\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$
Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $A.$
ii) Η $f,$ που έχει πεδίο ορισμού το $A=\left[0,9\right)$ , είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το

$f(A)=\left[f(0),\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)\right)$

Είναι:

$f(0)=0-\ln9=-ln9$

$\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 9^-}{\left(\sqrt{x}-\ln(9-x)\right)}=3-\ln0=3-(-\infty)=+\infty$
Επομένως είναι $f(A)=\left[-\ln9,+\infty\right)$
iii)Το $e\in f(A)$ άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\left[-\ln9,+\infty\right).$
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η λύση της εξίσωσης είναι μοναδική.