ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Αν $f$ συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα $A.$ Τότε το σύνολο τιμών της $f$ το $f(A)$ θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε
$f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]$

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε
$f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσατότε $f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))$

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x)$ .

i) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
ii)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$ .
iii)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\sqrt{x}-\ln(9-x)=e$ έχει ακριβώς μια λύση.
Λύση
Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x)$ ορίζεται όταν:
$x\geq 0$
και
$9-x>0\Leftrightarrow x<9$
Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $A=\left[0,9\right).$
i) Έστω $x_1,x_2\in\left[0,9\right)$ με $x_1<x_2$ . Τότε έχουμε:

$x_1<x_2\Leftrightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$

$x_1<x_2\Leftrightarrow -x_1 > -x_2\Leftrightarrow 9-x_1 > 9-x_2 \Leftrightarrow \ln(9-x_1)>\ln(9-x_2)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -\ln(9-x_1)< -\ln(9-x_2)$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
$\sqrt{x_1}-\ln(9-x_1) < \sqrt{x_2}-\ln(9-x_2)\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$
Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $A.$
ii) Η $f,$ που έχει πεδίο ορισμού το $A=\left[0,9\right)$ , είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το

$f(A)=\left[f(0),\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)\right)$

Είναι:

$f(0)=0-\ln9=-ln9$

$\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 9^-}{\left(\sqrt{x}-\ln(9-x)\right)}=3-\ln0=3-(-\infty)=+\infty$
Επομένως είναι $f(A)=\left[-\ln9,+\infty\right)$
iii)Το $e\in f(A)$ άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\left[-\ln9,+\infty\right).$
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η λύση της εξίσωσης είναι μοναδική.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Μία απάντηση στο “ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά