ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύουν:

Συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$

Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)$ και

$f(\alpha)=f(\beta).$
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$

Παράδειγμα.1.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3), \quad \lambda\in\mathbb{R}.$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,2)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0.$
Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3)$

έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}.$
Παρατηρούμε τα εξής:

Η $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[1,2]$ , ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(1,2)$ , ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
$f'(x)=\big(x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3)\big)'\Leftrightarrow$
$f'(x) =5x^{4}-12\cdot x^{2}+2\cdot (\lambda-1)x -3\lambda.$

Έχουμε:
$f(1)=1-4+\lambda-1-3\lambda+2\lambda+6 =2$
$f(2)=32-32+4\lambda-4-6\lambda+2\lambda+6 =2$
Έχουμε δηλαδή:
$f(1)=f(2)$
Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,2)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0.$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^{3} +\alpha x^{2} -3 \alpha x - 8, \quad \alpha \in \rr,$ η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[-3,3].$ Να βρείτε τον αριθμό $\alpha$ και στην συνέχεια να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης $f'(x)=0$ που ανήκουν στο διάστημα $(-3,3)$
Λύση
Από υπόθεση για την συνάρτηση $f,$ ισχύει το θεώρημα Rolle στο $[-3,3]$
δηλαδή ισχύει ότι
Η $f$ είναι συνεχής στο $[-3,3]$ ως πολυωνυμική.
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(-3,3)$ ως πολυωνυμική.
Και ισχύει

$f(-3) = f(3).$

Έχουμε

$f(-3)= -27 + 9\cdot \alpha + 9 \cdot \alpha -8 \Leftrightarrow f(-3) = 18\cdot \alpha -35.$

Επίσης

$f(3) = 27 + 9 \cdot \alpha - 9 \cdot \alpha -8 \Leftrightarrow f(3) = 19.$

Αφού πρέπει να ισχύει $f(-3) = f(3)$ τότε έχουμε

$18\cdot \alpha -35=19 \Leftrightarrow \alpha =3.$

Άρα έχουμε:

$f(x)=x^3+3x^2-9x-8$

$f'(x)=3x^2+6x-9$

$\begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &3x^2+6x-9=0 \Leftrightarrow\\ &x^2+2x-3=0 \Leftrightarrow\\ &(x+3)(x-1)=0 \Leftrightarrow\\ &x=-3 \quad {\text{ή}} \quad x=1 \end{align*}$

Επειδή οι ρίζες της $f'(x)=0$ θέλουμε να ανήκουν στο $(-3,3)$ , άρα έχουμε:

$x=1$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Μία απάντηση στο “ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά