ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του \mathbb{R} στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το \mathbb{R} εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

  • f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} τότε θα πρέπει Q(x) \neq 0
  • f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\} τότε θα πρέπει P(x) \geq 0
  • f(x)=ln(P(x)) τότε θα πρέπει P(x)>0
  • f(x)=\epsilon\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}
  • f(x)=\sigma\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}
  • f(x)=(P(x))^{Q(x)} τότε θα πρέπει P(x)>0

Όπου P(x), \, \, Q(x) πολυώνυμα του x\in \rr.


Παράδειγμα. 1.
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων
i) f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}.

ii) f(x) = \sqrt{x-3}.

iii) f(x) = \ln (x-3).

Λύση
i) f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}
Θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλ.

    \[x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3.\]

Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=\mathbb{R}-\{3\}.

ii) f(x) = \sqrt{x-3}
Θα πρέπει το υπόριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο το μηδέν, δηλ.

    \[x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.\]

Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=[3,+\infty).

iii) f(x) = \ln (x-3)
Θα πρέπει η συνάρτηση που ειναι “μεσα” στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη απο το μηδέν, δηλ.

    \[x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3.\]

Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=(3,+\infty).

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i)f(x)=\dfrac{7-x}{|2x-1|-7}

ii) f(x)=\dfrac{\ln\big((\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9})}{\sqrt{e^x-1}}

iii)f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}

Λύση

i) Η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{7-x}{|2x-1|-7}\]

ορίζεται όταν:

    \begin{align*} & |2x-1|-7 \neq 0 \Leftrightarrow |2x-1| \neq 7 \Leftrightarrow\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x-1 \neq 7 \Leftrightarrow x \neq 4 $ και\\ $2x-1 \neq -7 \Leftrightarrow x \neq -3$ \end{tabular} \right. \end{align*}

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=\mathbb{R}-\{-3,4\}
ii) Η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\ln\big((\frac{1}{3})^x-\frac{1}{9}\big)}{\sqrt{e^x-1}}\]

ορίζεται όταν ισχύουν οι παρακάτω
τρεις περιορισμοί.

α)

    \begin{align*} &\big(\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9}>0 \Leftrightarrow \big(\frac{1}{3}\big)^x>\frac{1}{9} \Leftrightarrow \big(\frac{1}{3}\big)^x>\big(\frac{1}{3}\big)^2 \stackrel{\downarrowtail}{\Leftrightarrow} x<2 \end{align*}

β)

    \begin{align*} &e^x-1 \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq 1 \Leftrightarrow e^x \geq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow} x \geq 0 \end{align*}

γ)

    \begin{align*} &\sqrt{e^x-1} \neq 0 \Leftrightarrow e^x-1 \neq 0 \Leftrightarrow\\ & e^x \neq 1 \Leftrightarrow e^x \neq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow}x \neq 0 \end{align*}

Από την συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

    \[A_{f}=\{x \in (0,2) \} \]

iii) Η συνάρτηση

    \[f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}\]

ορίζεται όταν: α)

    \begin{align*} &9-x^2>0 \Leftrightarrow 9>x^2 \Leftrightarrow\\ &3>|x| \Leftrightarrow -3<x<3 \end{align*}

και β)
|x|-1 \geq 0 \Leftrightarrow |x| \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1 \quad ή x \leq -1
Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

    \[A_{f}=(-3,-1]\cup [1,3)\]

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Μία απάντηση στο “ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *