ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης $f$ , τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ στο οποίο ο τύπος της $f(x)$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το $\mathbb{R}$ εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $Q(x) \neq 0$

$f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\}$ τότε θα πρέπει $P(x) \geq 0$

$f(x)=ln(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

$f(x)=\epsilon\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=\sigma\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=(P(x))^{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

Όπου $P(x), \, \, Q(x)$ πολυώνυμα του $x\in \rr.$

Παράδειγμα. 1.
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων
i) $f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}.$

ii) $f(x) = \sqrt{x-3}.$

iii) $f(x) = \ln (x-3).$

Λύση
i) $f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}$
Θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλ.

$x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3.$

Άρα το πεδίο ορισμού $A_f$ της συνάρτησης είναι $A_f=\mathbb{R}-\{3\}.$

ii) $f(x) = \sqrt{x-3}$
Θα πρέπει το υπόριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο το μηδέν, δηλ.

$x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.$

Άρα το πεδίο ορισμού $A_f$ της συνάρτησης είναι $A_f=[3,+\infty).$

iii) $f(x) = \ln (x-3)$
Θα πρέπει η συνάρτηση που ειναι “μεσα” στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη απο το μηδέν, δηλ.

$x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3.$

Άρα το πεδίο ορισμού $A_f$ της συνάρτησης είναι $A_f=(3,+\infty).$

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i) $f(x)=\dfrac{7-x}{|2x-1|-7}$

ii) $f(x)=\dfrac{\ln\big((\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9})}{\sqrt{e^x-1}}$

iii) $f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}$

Λύση

i) Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{7-x}{|2x-1|-7}$

ορίζεται όταν:

$\begin{align*} & |2x-1|-7 \neq 0 \Leftrightarrow |2x-1| \neq 7 \Leftrightarrow\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x-1 \neq 7 \Leftrightarrow x \neq 4 $ και\\ $2x-1 \neq -7 \Leftrightarrow x \neq -3$ \end{tabular} \right. \end{align*}$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $A_{f}=\mathbb{R}-\{-3,4\}$
ii) Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{\ln\big((\frac{1}{3})^x-\frac{1}{9}\big)}{\sqrt{e^x-1}}$

ορίζεται όταν ισχύουν οι παρακάτω
τρεις περιορισμοί.

α)

$\begin{align*} &\big(\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9}>0 \Leftrightarrow \big(\frac{1}{3}\big)^x>\frac{1}{9} \Leftrightarrow \big(\frac{1}{3}\big)^x>\big(\frac{1}{3}\big)^2 \stackrel{\downarrowtail}{\Leftrightarrow} x<2 \end{align*}$

β)

$\begin{align*} &e^x-1 \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq 1 \Leftrightarrow e^x \geq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow} x \geq 0 \end{align*}$

γ)

$\begin{align*} &\sqrt{e^x-1} \neq 0 \Leftrightarrow e^x-1 \neq 0 \Leftrightarrow\\ & e^x \neq 1 \Leftrightarrow e^x \neq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow}x \neq 0 \end{align*}$

Από την συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο

$A_{f}=\{x \in (0,2) \}$

iii) Η συνάρτηση

$f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}$

ορίζεται όταν: α)

$\begin{align*} &9-x^2>0 \Leftrightarrow 9>x^2 \Leftrightarrow\\ &3>|x| \Leftrightarrow -3<x<3 \end{align*}$

και β)
$|x|-1 \geq 0 \Leftrightarrow |x| \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1 \quad$ ή $x \leq -1$
Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο