Έστω ένα όριο της μορφής:
![\[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aeaa2ef74d15dbd70291107cbc132900_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου 
συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:
, δηλαδή η 
είναι “μηδενική” συνάρτηση.
, όπου 
, δηλαδή η 
είναι μια φραγμένη συνάρτηση.
Τα όρια της παραπάνω μορφής (μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη συνάρτηση), υπολογίζονται με τον εξής τρόπο:
![\[|f(x)\cdot g(x)|=|f(x)|\cdot|g(x)|\leq|f(x)|\cdot M\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34fcaf313c41df01f01a5ff6b0c1e540_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
οπότε είναι:
![\[|f(x)\cdot g(x)|\leq |f(x)|\cdot M\Leftrightarrow\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3365cd3af7f9d83018cec6f3b6bc5dc0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[-|f(x)|\cdot M\leq & f(x)\cdot g(x)\leq |f(x)|\cdot M.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-856535e6c98d928d12c11cfe01f9c465_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Όμως ισχύει:
![\[\lim_{x\to x_{o}}(-|f(x)|\cdot M)=\lim_{x\to x_{o}}(|f(x)|\cdot M)=0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41b506f08e805fac3cd4a6cfd280ae4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:
![\[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))=0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-871f7ebaf771bcf1fdfa58d70d69e90d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το όριο 
Λύση
ΓΙΑ ΝΑ ΛΥΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ
![\[-\theta \leq x \leq \theta \Leftrightarrow | x| \leq \theta.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c28c09509d37ba8f115cbeef2a20ac3f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ξέρουμε ότι για κάθε 
έχουμε:
πολλαπλασιάζουμε και τα δύo μέλη με 
και έχουμε:
![\[-\bigg|x^2+x\bigg|\leq (x^2+x)\hm \dfrac{1}{x} \leq \bigg|x^2+x\bigg|\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5aca4c34ce9463d91df8e22c3b00d43_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Όμως ισχύει:
![\[\orio{x}{0}{-|x^2+x|}=0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a3ac8e0aafef3a1b29a3d47031f6a20_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\orio{x}{0}{|x^2+x|}=0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64acfb0daafba2590c54c34407d20d34_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε ότι:
![\[\orio{x}{0}{(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}}=0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2b400b76150c9f381d3427850dab79e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .
Οι τιμες του lim σε αυτες τις ασκησεις θα ειναι παντα -1 <= lim <= 1 ;
Πχ 0, 1/4, 1/2, 1
Θα πρεπει να επναδιατυπωσετε το ερωτημα σας με μεγαλυτερη σαφήνεια.
Το αποτελεσμα του οριου στις επιφραγμενες θα ειναι παντα [-1,1] ;
το αποτέλεσμα του οριου των περιπτωσεων μηδενικης επι φραγμενης είναι πάντα μηδέν.
Ποια η διαφορα το να δικαιολογω με το κριτιριο παρεμβολης με το κριτιριο πλευρικων οριων;
Κάθε φορα που βγάζουμε ένα συμπερασμα θα πρεπει να το δικαιολογουμε.
Αλλα ποια η διαφορα των δυο κριτιριων σε αυτη την ασκηση?
Εδω δεν εχουμε πλευρικα όρια αρα εδω δεν έχουμε Κριτηριο πλευρικων ορίων.
Εδω η συνάρτηση της οποίας ψαχνουμε το όριο είναι στο “κέντρο” μιας διπλής διάταξης γιαυτό το λόγο εφαρμοζουμε το κριτήριο Παρβολης
otan exeis ημf(Χ)/Χ ποιος ειναι ο τροπος?
Το ερωτημα ειναι ασαφες αλλα ας υποθέσουμε οτι η απορία σου ειναι για την παρακάτω περίπτωση:
Αν
Nα υπολογισθεί το όριο
Τότε έχουμε:
δηλαδη προκύπτει ενα οριο της κατηγορίας “μηδενικη επι φραγμένη” το οποίο το βρίσκουμε με την παραπάνω μεθοδολογία.