ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση $f:\RR\rightarrow\RR$ για την οποία ισχύει:

$\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2, \forall x \in \rr$

Να βρείτε τα όρια:

$\newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } .\afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}\quad$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}$ \\ \end{tabular}$

Λύση

i ) Μας δίνεται η σχέση:

$\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2 \Leftrihgtarrow$

$\hm^2 x-2x\syn x\leq f(x)\leq x^2-2x\syn x$

Έχουμε:

$\orio{x}{0}{\left(\hm^2 x-2x\syn x\right)}=0$

και

$\orio{x}{0}{\left(x^2-2x\syn x\right)}=0$

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

$\orio{x}{0}{f(x)}=0$

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
ii ) Έχουμε ότι:

$\hm^2 x-2x\syn x\leq f(x)\leq x^2-2x\syn x$

Προσθέτουμε το $2x$ και διαιρούμε με $x^2\neq 0$ και τα τρία μέλη της σχέσης:

$\dfrac{\hm^2 x-2x\syn x+2x}{x^2}\leq \dfrac{f(x)+2x}{x^2}\leq \dfrac{x^2-2x\syn x+2x}{x^2}$

Έχουμε:

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\hm^2x-2x\syn x+2x}{x^2}= \\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\hm^2x-\big(2x\syn x-2x\big)}{x^2}= \\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg( \dfrac{\hm^{2} x}{x^{2}} - \dfrac{2x\syn x -2x}{x^{2}}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\left(\dfrac{\hm x}{x}\right)^2-\dfrac{2x(\syn x-1)}{x^{2}}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\left(\dfrac{\hm x}{x}\right)^2-\dfrac{2(\syn x-1)}{x}\Bigg)=\\\\ & 1-0=1 \end{align*}$

Επίσης

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-2x\syn x+2x}{x^2}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(\dfrac{x^2}{x^{2}}+\dfrac{-2x\syn x+2x}{x^2}\Big)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(1+\dfrac{-2x(\syn x-1)}{x^2}\Big)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(1-2\cdot\dfrac{\syn x-1}{x}\Big)=\\\\ &1-0=1 \end{align*}$

Από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

$\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}=1$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά