ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Για να υπολογίσουμε το μη πεπερασμένο όριο στο $x_{0}\in \rr$ που περιέχει απόλυτες τιμές, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το πρόσημο των συναρτήσεων που είναι μέσα στο απόλυτο λαμβάνοντας υπόψιν

$\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = +\infty \quad \text{τότε} \, f(x)>0.$

$\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = -\infty \quad \text{τότε} \, f(x)<0.$

Παράδειγμα.1.
Δίνεται η συνάρτηση $f:\rr\to\rr,$ για την οποία ισχύει ότι $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) = +\infty.$ Να υπολογίσετε το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to 1}} \dfrac{x^{2}-1}{|3-xf(x)|-|f(x)-3|}.$

Λύση.

Υπολογίζουμε το όριο της κάθε παράστασης που βρίσκεται μέσα στις απόλυτες τιμές ξεχωριστά, δηλαδή:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}}\big(3-xf(x)\big)=\big(3-1\cdot (+\infty)\big) =-\infty.$

Άρα πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι

$3-xf(x)<0\Leftrightarrow | 3-xf(x)|=-\big(3-xf(x)\big).$

Επίσης

$\displaystyle\lim_{x\to 1}}\big(f(x)-3\big)=\Big(+\infty-3\big) =+\infty.$

Άρα πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι

$f(x)-3>0\Leftrightarrow |f(x)-3|=f(x)-3.$

‘Ετσι το αρχικό όριο γίνεται

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{|3-xf(x)|-|f(x)-3|}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{-\Big(3-xf(x)\Big)-\Big(f(x)-3\Big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{-3+xf(x)-f(x)+3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1^{2}}{xf(x)-f(x)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot (x+1)}{f(x)\cdot(x-1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+1}{f(x)}=\Big(\dfrac{2}{+\infty}\Big)=0. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά