ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει

$f(2)=f(3)=f(4)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(2,4)$ τέτοιο ώστε

$f''(\xi)=0$

Λύση
Αφού απο υπόθεση

$f(2)=f(3)=f(4)$

Εφαρμόζουμε διαδοχικά το θεώρημα Rolle, για τη συνάρτηση $f$ στα διαστήματα $[2,3]$ και $[3,4]$ και έχουμε:

* Η $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[2,3]\subseteq \rr,$ ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\rr,$ από υπόθεση.

* Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(2,3)\subseteq \rr,$ ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\rr,$ από υπόθεση.

* Ισχύει f(2)=f(3)

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_1\in(2,3)$ τέτοιο ώστε $f'(x_1)=0$

Ομοίως

* Η $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[3,4]\subseteq \rr,$ ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\rr,$ από υπόθεση.

* Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(3,4)\subseteq \rr,$ ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\rr,$ από υπόθεση.

* Ισχύει f(3)=f(4)
Άρα η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο $[3,4]$ δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_2\in(3,4)$ τέτοιο ώστε $f'(x_2)=0$ .

Παρατηρούμε λοιπόν ότι:

$f'(x_{1}) = f'(x_{2})$

Επειδή η συνάρτηση $f,$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr,$ εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την παράγωγο της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $[x_{1},x_{2}] \subseteq [2,4] \subseteq \rr.$
Οπότε

* Η $f'$ είναι συνεχής στο $[x_1,x_2]\subseteq \rr$ αφού, από υπόθεση, η συναρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr.$
* Η $f'$ είναι παραγωγίσιμη στο $(x_1,x_2)\subseteq \rr$ αφού, η συναρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr.$
* Ισχύει ότι:

$f'(x_1)=f'(x_2)$

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(x_1,x_2)\subseteq(2,4)$ τέτοιο ώστε

$f''(\xi)=0$

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά