ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

$f(x)=0$

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $\Delta$ και
δεν εφαρμόζεται για την $f$ το θεώρημα Bolzano, τότε μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

* Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της $f$ για την οποία ισχύει

$F'(x)=f(x)$

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την $f$ στο διάστημα $\Delta$ , αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.

Παράδειγμα.
Δείξετε ότι η εξίσωση $4x^3-4x-1=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(-1,0).$
Λύση
Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση $4x^3-4x-1=0$ έχει μία ρίζα στο διάστημα $(-1,0)$ εξετάζουμε, αν για τη συνάρτηση

$f(x)=4x^3-4x-1,$

εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα $[-1,0].$
Η $f$ είναι συνεχής στο $[-1,0]$ ως πολυωνυμική και ισχύει:

$f(-1)=4+4-1\Rightarrow f(-1) =-1 \quad \text{και} \quad f(0)=-1$

Παρατηρούμε ότι $f(-1)\cdot f(0) = +1>0,$ άρα δεν εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano.

Στην περίπτωση συτή πρέπει να βρούμε μια αρχική της $f.$

Πατηρούμε ότι η εξίσωση γίνεται:

$\begin{align*} &4x^3-4x-1=0 \Leftrightarrow\\ &(x^4)'-(2x^2)'-(x)'=0 \Leftrightarrow\\ &(x^4-2x^2-x)'=0 \end{align*}$

Θέτουμε

$F(x)=x^4-2x^2-x$

Ισχύουν:

* Η $F$ είναι συνεχής στο διάστημα $[-1,0]$ , ως πολυωνυμική.
* Η $F$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(-1,0)$ ως πολυωνυμική με

$\begin{align*} & F'(x)=(x^4-2x^2-x)' \Rigghtarrow\\ & F'(x)=4x^3-4x-1 \end{align*}$

Επίσης:

$F(-1)=1-2+1\Rightarrow F(-1) =0 \quad \text{και} \quad F(0)=0$

Δηλαδή ισχύει ότι

$F(-1)=F(0)$

Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η εξίσωση:

$\begin{align*} &F'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &4x^3-4x-1=0, \end{align*}$

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(-1,0).$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά