Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha,\beta και \gamma ώστε να ισχύει

    \[\lim_{x \to 1}\frac{\alpha e^{2x}+\beta x+\gamma}{(x-1)^2}=2\]

Λύση
Το όριο γράφεται:

    \[\lim_{x \to 1}\big{[}(\alpha e^{2x}+\beta x+\gamma)\frac{1}{(x-1)^2}\big{]}\]

Το οποίο είναι της μορφής (\alpha e^{2}+\beta +\gamma)(+\infty).
Οπότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Αν

    \[(\alpha e^{2}+\beta +\gamma)>0\]

τότε το όριο είναι ίσο με +\infty,
ενώ αν

    \[(\alpha e^{2}+\beta +\gamma)<0\]

τότε το όριο είναι ίσο με -\infty.
Οι περιπτώσεις αυτές απορρίπτονται, αφού το όριο, απο υπόθεση είναι ίσο με 2.
Επομένως ισχύει:

    \begin{align*} &\alpha e^{2}+\beta +\gamma=0 \Leftrightarrow\\ &\gamma=-\alpha e^2-\beta \end{align*}

Έτσι το όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1}\frac{\alpha e^{2x}+\beta x+\gamma}{(x-1)^2}=\\ &\lim_{x \to 1}\frac{\alpha e^{2x}+\beta x-\alpha e^2-\beta}{(x-1)^2}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\\\ &\lim_{x \to 1}\frac{(\alpha e^{2x}+\beta x-\alpha e^2-\beta)'}{[(x-1)^2]'}=\\\\ &\lim_{x \to 1}\frac{2\alpha e^{2x}+\beta}{2(x-1)}=\\\\ &\lim_{x \to 1}\bigg{[}(2\alpha e^{2x}+\beta)\frac{1}{2(x-1)}\bigg{]}. \end{align*}

Για να υπάρχει το παραπάνω όριο θα πρέπει να ισχύει:

    \begin{align*} &2\alpha e^{2}+\beta=0 \Leftrightarrow\\ &\beta=-2\alpha e^{2} \end{align*}

Έτσι το όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1}\frac{2\alpha e^{2x}+\beta}{2(x-1)} \xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\\\ &\lim_{x \to 1}\frac{(2\alpha e^{2x}+\beta)'}{[2(x-1)]'}=\\\\ &\lim_{x \to 1}\frac{4\alpha e^{2x}}{2}=2\alpha e^2. \end{align*}

Έχουμε όμως ότι:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1}\frac{\alpha e^{2x}+\beta x+\gamma}{(x-1)^2}=2 \Leftrightarrow\\ &2\alpha e^2=2 \Leftrightarrow\\ &\alpha= e^{-2} \end{align*}

Άρα έχουμε:

    \[ \beta=-2 \quad \text{και} \quad \gamma=1\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *