Για τον ορισμό της παραγώγου ξέρουμε ότι ισοδύναμα ισχύει:
Μια συνάρτηση 
λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο 
αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το παρακάτω όριο:
![\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-775b2b14267ab3b5a6febc32a89759fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και τότε γράφουμε:
![\[f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7708c3f0b7e6210ab380f298094f02b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.
Έστω μια συνάρτηση 
η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.
Να δείξετε ότι:
![\[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)}{h^{2}}=3f'(x)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87fafad753254acc7fc43ff94594e033_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο 
θα είναι και συνεχής στο 
Οπότε:
Σημείωση: επειδη το παρακάτω όριο είναι ως προς 
αρα και η μεταβλητή παραγώγισης της συνάρτησης είναι το 
για την εφαρμογή του κανόνα DEL HOSPITAL.
![\[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)}{h^{2}}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1654975f1939447cb38260371c66b127_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[&\lim_{h\to 0} \dfrac{\Bigg(f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)\Bigg)'}{\big(h^{2}\big)'} =\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90f9cfa8b29650d77316022d065a7e30_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{align*} &\lim_{h\to 0} \dfrac{\Bigg(f(x+2h)\Bigg)'-3\Bigg(f(x)\Bigg)'+2\Bigg(f(x-h)\Bigg)'}{\big(h^{2}\big)'} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)\cdot(x+2h)'-3 \cdot 0+2f'(x-h)\cdot (x-h)'}{2h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)\cdot 2-0+2f'(x-h)\cdot (-1)}{2h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{2f'(x+2h)-2f'(x-h)}{2h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{2\Big(f'(x+2h)-f'(x-h)\Big)}{2h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x-h)}{h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)-f'(x-h)+f'(x)}{h} =\\\\ &\lim_{h\to 0} \bigg[\dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h}-\dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{h}\bigg] =\\\\ \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8f0040ba932fc7fab0aca241b2a4877_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h} -\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{h}=\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee3437ecd7ad2f44070125309e74446_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\cdot\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{2h} + \lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{-h}=\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef630e74ccbd8696037c10310db5ca72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\cdot f''(x) + f''(x)= 3\cdot f''(x)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d133c5f25f1e7094384fcffaf087c14_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Αφού
![\begin{align*} &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h} \xlongequal[]{u=2h}\\\\ &\lim_{u\to 0} \dfrac{f'(x+u)-f'(x)}{u}=f''(x). \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82396146bed9da634bf404c621d7f7de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και
![\begin{align*} &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{-h} \xlongequal[]{u=-h}\\\\ &\lim_{u\to 0} \dfrac{f'(x+u)-f'(x)}{u}=f''(x). \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3bf084715085126b40f46e2484a6737_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .