ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8

Rendered by QuickLaTeX.com

Απάντηση

Έστω η συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ συνάρτηση $f$ με

$f(\alpha) \neq f(\beta).$

Για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta),$ υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός $x_{0} \in (\alpha, \beta),$ ώστε:

$f(x_{0}) = \eta$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αφού $f(\alpha) \neq f(\beta)$ μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι $f(\alpha) < f(\beta)$ οπότε:

$f(\alpha) < \eta < f(\beta).$

Θεωρούμε την συνάρτηση:

$g(x) = f(x) - \eta, \, x\in [\alpha, \beta]$

για την οποία:

η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$ ώς άθροισμα συνεχών
$g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$ αφού $g(\alpha) = f(\alpha) - \eta < 0$ και $g(\beta) = f(\beta) - \eta > 0$
Οπότε από το θεώρημα BOLZANO, υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{0} \ (\alpha, \beta)$
ώστε $g(x_{0}) = 0 \Leftrightarrow f(x_{0}) - \eta = 0$ δηλαδη

$f(x_{0}) = \eta$

Παρατήρηση: Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής τότε αυτή, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

ΠΡΟΣΟΧΗ. Ο υποψήφιος των πανελλήνιων εξετάσεων θα πρέπει απλά να να συμβουλεύεται τη συγκεκριμένη ερώτηση – απάντηση θεωρίας και να διαβάζει τη θεωρία απο το σχολικό βιβλίο από το οποίο θα εξετασθεί.
Βιβλιογραφία:

Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικά Γ. τάξης γενικού λυκείου ομάδα προσανατολισμού Β. μέρος.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά