Β Λυκείου / ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email
    1. Έστω οξεία γωνία ω. Πως ορίζεται το ημίτονο, συνημίτονο, η εφαπτόμενη και η συνεφαπτόμενη της γωνίας ω?
      ΑΠΑΝΤΗΣΗ
      Έστω γωνία ω.Ισχύει ότι:

          \[\hm\grv=\dfrac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}=\dfrac{(MM_1)}{(OM)}\]

          \[\syn\grv=\dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}=\dfrac{(0M_1)}{(OM)}\]

          \[\ef\grv=\dfrac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}=\dfrac{(MM_1)}{(OM_1)}\]

          \[\snf\grv=\dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{απέναντι κάθετη}}=\dfrac{(OM_1)}{(MM_1)}\]

    2. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0^\circ \leq \grv \leq 360^\circ ?

      ΑΠΑΝΤΗΣΗ
      Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού
      και \grv η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θε-
      τική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία
      Ot (Σχ. α’,β’). Ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας \grv,
      ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω.
      Τότε ισχύει:

      Οι τριγωνομετρικοι αριθμοί γωνάς ω σε σύστημα αξόνων.

          \[\hm\grv=\dfrac{(MM_1)}{(OM)}=\dfrac{y}{\grr} \qquad \syn\grv=\dfrac{(0M_1)}{(OM)}=\dfrac{x}{\grr}\]

          \[\ef\grv=\dfrac{(MM_1)}{(OM_1)}=\dfrac{y}{x} \qquad (\text{εφόσον} \quad x\neq0)\]

          \[\snf\grv=\dfrac{(OM_1)}{(MM_1)}=\dfrac{x}{y} \qquad (\text{εφόσον} \quad y\neq0)\]

      όπου \grr=\sqrt{x^2+y^2}>0

  2. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360^\circ και αρνητικών γωνιών?
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ
    Για κάθε γωνία θετική ή αρνητική ισχύει ότι:
    Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία \omega (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα Ox.
    Αν ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει \nu πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει την οξεία γωνία \omega, τότε θα έχει διαγράψει γωνία

        \[\nu \cdot360^{^o} + \omega,\]

    που έχει την ίδια τελική πλευρά με την \omega.Για παράδειγμα για την γωνία 390^{^{ο}} έχουμε:

        \[390^{^{o}}= 1\cdot 360^{^{o}} +30^{^{o}}\]

    Η γωνία 390 μοιρών γράφεται ως: 390^{^{o}}= 1\cdot 360^{^{o}} +30^{^{o}}

    Αν όμως ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει \nu πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει την οξεία γωνία \omega, τότε θα έχει διαγράψει γωνία

        \[-\nu\cdot 360^{^o}} - \omega\]

    που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την \omega.

    Για παράδειγμα για την γωνία -390^{^{ο}} έχουμε:

        \[-390^{^{o}}= -1\cdot 360^{^{o}} -30^{^{o}}\]

    Η γωνία -390 μοιρών γράφεται ως: -390^{^{o}}= -1\cdot 360^{^{o}} -30^{^{o}}

    Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής \kappa \cdot 360^{^{o}} + \omega, \, \kappa \in \mathbb{Z}, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

        \[\hm(\kappa \cdot 360^{^{o}} + \omega)=\hm\omega\]

        \[\syn(\kappa \cdot 360^{^{o}} + \omega)=\syn \omega\]

        \[\ef(\kappa \cdot 360^{^{o}} + \omega)=\ef \omega\qquad \omega\neq 90^{^{o}}\]

        \[\snf(\kappa \cdot 360^{^{o}} + \omega)=\snf\omega \qquad \omega\neq 0^{^{o}}\]

    όπου k \in \mathbb{Z} και \omega ΟΞΕΙΑ γωνία.

  3. Τι ονομάζουμε τριγωνομετρικό κύκλο?
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ
    Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα \grr=1 γράψουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος
    αυτός ονομάζεται τριγωνομετρικός κύκλος.
  4. Πως ορίζονται το ημω και το συνω στον τριγωνομετρικό κύκλο?
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ
    Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(x, y), τότε ισχύει:

    Τριγωνομετρικός κύκλος.

    \syn\grv = x = τετμημένη του σημείου Μ
    \hm\grv = y = τεταγμένη του σημείου Μ
    Για το λόγο αυτό ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο
    άξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων.

  5. Τι τιμές μπορούν να πάρουν το ημω και το συνω?
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ
    Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ’ απόλυτη τιμή την ακτίνα του
    τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει:−1 \leq \syn\grv \leq 1 και −1 \leq \hm\grv \leq 1
  6. Πως ορίζονται τα πρόσημα των τριγωνομετρικων αριθμών μιας γωνίας ω ανάλογα με το τεταρτημόριο?
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ
    Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η
    τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. \Large \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline & \cellcolor{lightgray} $1^{\circ}$ & \cellcolor{lightgray}$2^\circ$ &\cellcolor{lightgray}$3^\circ$ &\cellcolor{lightgray}$4^\circ$ \\ \hline $\cellcolor{lightgray}\hm\grv$ & + & + & - & - \\ \hline $\cellcolor{lightgray}\syn\grv$ & + &- & - &+ \\ \hline $\cellcolor{lightgray}\ef\grv$ & + & - & + & - \\ \hline $\cellcolor{lightgray}\snf\grv$ & + & - & + & - \\ \hline \end{tabular}

Βιβλιογραφία:
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας.Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Β λυκείου

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *