ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

25 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

Εξισώσεις της μορφής

$\boldsymbol{A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0}$

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής:

$A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0$

παριστάνει δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Θεωρούμε ότι η εξίσωση είναι τριώνυμο ως προς $\mathrm{x}$ (ή ως προς $\mathrm{y},$ ) δηλαδή:

$A\mathrm{x}^{2} + (\Gamma \mathrm{y} + \Delta)\mathrm{x}+ B\mathrm{y}^{2} + E\mathrm{y} + Z = 0$

Λύνουμε την παραπάνω εξίσωση και βρίσκουμε δύο σχέσεις ανάμεσα στα $\mathrm{x}$ και $\mathrm{y},$ οι οποίες είναι οι εξισώσεις των ζητούμενων ευθειών

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ 51.59

24 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ 51.59

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ 51.59 →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 65.61

24 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 65.61

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 65.61 →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

19 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Γωνία που σχηματίζει ευθεία με τον άξονα $\boldsymbol{x'x}$

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων $Oxy$ θεωρούμε μια ευθεία $(\epsilon)$ που τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $Α.$

Η γωνία $\omega$ που διαγράφει ο άξονας $x'x$ όταν στραφεί γύρω από το $Α$ κατά τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία $(\epsilon),$ ονομάζεται γωνία που σχηματίζει η ευθεία $\boldsymbol{(\epsilon)}$ με τον άξονα $\boldsymbol{x'x}$ (σχήμα 1).

Γωνία που σχηματίζει ευθεία με τον άξονα $\boldsymbol{x'x}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

1. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο, $|\vec{\beta}| = 2$ και $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3},$ να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:i_). $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta},$
  ii_). $(\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} - \vec{\beta}),$
  iii_). $(\vec{\alpha} - 3\vec{\beta})^2.$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν $\vec{\alpha} = (3, \sqrt{3})$ και $\vec{\beta} = (\sqrt{3}, -1)$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν $\vec{\alpha} = (1, \sqrt{3})$ και $\vec{\beta} = (-\sqrt{3}, 3)$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν $\vec{\alpha} = (3, -4)$ και $\vec{\beta} = \dfrac{1}{7}i + j,$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν Α(4, 1), Β(8, 2), Γ(1, 3), να αποδείξετε ότι η γωνία των $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}$ είναι αμβλεία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β. →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

1. Αν $\vec{\alpha}^2 = 5\vec{\beta}(2\vec{\alpha} - 5\vec{\beta}),$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha}\uparrow \uparrow \vec{\beta}.$
2. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο και ισχύει $\vec{\beta}^2 + \vec{\gamma}^2 = \vec{\alpha} \cdot (2\vec{\beta} - \vec{\alpha}),$ να υπολογίσετε την παράσταση $Α = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}.$
3. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο και ισχύει $|\vec{\beta}| = 2\sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1},$ να αποδείξετε ότι $\vec{\beta} = 2\vec{\alpha}.$
4. Αν $|\vec{\alpha}| = 2$ και $|\vec{\beta}| = \sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1},$ να δείξετε ότι $\vec{\alpha} = 2\vec{\beta}.$
5. Αν τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ είναι μοναδιαία και ισχύει $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = 2,$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha} = \vec{\beta} = \vec{\gamma}.$
6. Αν $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\nu} = \dfrac{|\vec{\beta}|}{|\vec{\alpha}|} \cdot \vec{\alpha}$ και $\vec{\upsilon} = \dfrac{|\vec{\alpha}|}{|\vec{\beta}|} \cdot \vec{\beta},$ να αποδείξετε ότι:i.). $\vec{\nu} \uparrow \uparrow \vec{\alpha}$ και $|\vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha}|.$
  ii.). $|\vec{\nu} + \vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|.$
7. Αν για τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ ισχύουν $|\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}|, ~\vec{\alpha}\neq \vec{0}$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\beta}|,$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}.$
8. Αν $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|,$ να δείξετε ότι $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}|\sqrt{3}.$
9. Αν $|\vec{\alpha}| = 6$ και $|\vec{\beta}| = 2$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \geq 8,$ να αποδείξετε ότι:i.). $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 8.$
  ii.). $\vec{\alpha} = 3\vec{\beta}.$
  
  ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.