Β Λυκείου / Η ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΩΣ ΑΞΟΝΑΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

Συμμετρική γραμμή C της C_f ως προς την ευθεία y = x.

\bullet Αν μία συνάρτηση f:\mathbb{A} \to \mathbb{R} είναι γνησίως μονότονη, τότε για κάθε y \in f(\mathbb{A}) υπάρχει μοναδικό x \in \mathbb{A} τέτοιο, ώστε f(x) = y.

Οπότε ορίζεται μία συνάρτηση ( με αντίστροφη διαδικασία,) g: f(\mathbb{A}) \to \mathbb{R} με την οποία κάθε y \in f(\mathbb{A}) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x \in \mathbb{A}, τέτοιο, ώστε f(x) = y.
Άρα:
g:f(\mathbb{A}) \to \mathbb{R}
y \to x = g(y), όπου f(x) = y.

\bullet Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:

\star έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(\mathbb{A}) της f.
\star έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού \mathbb{A} της f.
\star ισχύει η ισοδυναμία:

    \begin{eqnarray*} &f(x) = y \Leftrightarrow g(y) = x ~(1) \end{eqnarray*}

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y,
τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως.
Επομένως, έχουμε:
\star g(f(x)) = x, ~\forall x \in \mathbb{R}.
\star f(g(y)) = y, ~\forall y \in f(\mathbb{A}) ή f(g(x)) = x, ~\forall x \in f(\mathbb{A})


\bullet Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} M(\alpha, \beta) \in C_f &\Leftrightarrow& f(\alpha) = \beta \\ &\xLeftrightarrow{(1)}& g(\beta) = \alpha \\ &\Leftrightarrow& N(\beta, \alpha) \in C_g \end{eqnarray*}

Επειδή τα σημεία Μ και Ν είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες \widehat{xOy} και \widehat{x'O'y'} έχουμε ότι:

\star Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες \widehat{xOy} και \widehat{x'Oy'}.
\star Αν η συνάρτηση f:\mathbb{A} \to \mathbb{R} είναι γνησίως μονότονη, τότε η συμμετρική γραμμή C της C_f ως προς την ευθεία y = x είναι γραφική παράσταση μίας συνάρτησης g:f(\mathbb{A}) \to \mathbb{R} για την οποία ισχύει f(x) = y \Leftrightarrow x = g(y).

ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

 

Βιβλιογραφία:

Μπάρλας, Άλγεβρα β. Λυκείου, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *