ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1520 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1520 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.1 Ανισώσεις πρώτου βαθμού.
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΟΡΘΩΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΜΕ ΜΗΚΟΣ $\alpha +1$ και ΠΛΑΤΟΣ $\alpha$

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 +x - 6$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = 1, ~\gamma = -6$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\ &=& 1 + 24 \\ &=& 25 > 0 \end{eqnarray*}$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{-1 \pm 5}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \\[5mm] \dfrac{-1 - 5}{2} = -3 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ — ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΟΥ $x^2 +x - 6$

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x - 6 < 0 &\Leftrightarrow& -3 < x < 2 \\ &\Leftrightarrow& x \in (-3, 2) \end{eqnarray*}$

2.) Είναι:

$\begin{eqnarray*} \bigg|x - \dfrac{1}{2}\bigg| > 1 &\Leftrightarrow& \bigg(x - \dfrac{1}{2} < -1 ~\text{ή} ~x - \dfrac{1}{2} > 1\bigg) \\ &\Leftrightarrow& \bigg(x < -1 + \dfrac{1}{2} ~\text{ή} ~x > 1 + \dfrac{1}{2}\bigg) \\ &\Leftrightarrow& \bigg(x < -\dfrac{1}{2} ~\text{ή} ~x > \dfrac{3}{2}\bigg) \\ &\Leftrightarrow& x \in \bigg(-\infty, -\dfrac{1}{2}\bigg) \cup \bigg(\dfrac{3}{2}, +\infty\bigg) \end{eqnarray*}$

3.)
3α.) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: $Ε = \alpha(\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha, ~\alpha > 0.$ Τότε:

$\begin{eqnarray*} E < 6 &\Leftrightarrow& \alpha^2 + \alpha < 6 \\ &\Leftrightarrow& \alpha^2 + \alpha - 6 < 0 \\ &\xLeftrightarrow{(1.))}& -3 < \alpha < 2 \end{eqnarray*}$

Επειδή όμως είναι $\alpha > 0$ συμπεραίνουμε ότι: $0 < \alpha < 2$ (1)
Ισχύει επίσης ότι:

$\begin{eqnarray*} \bigg|\alpha - \dfrac{1}{2}\bigg| > 1 &\xLeftrightarrow{(2.)}& \bigg(\alpha < -\dfrac{1}{2} ~\text{ή} ~\alpha > \dfrac{3}{2}\bigg) \\ &\xLeftrightarrow{\alpha >0}& \alpha > \dfrac{3}{2} ~(2) \end{eqnarray*}$

Από τις ανισώσεις (1) και $(2)$ καταλήγουμε ότι: $\dfrac{3}{2} < \alpha < 2$

3β.)Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:

$\begin{eqnarray*} \Pi &=& 2\alpha + 2(\alpha + 1) \\ &=& 2\alpha + 2\alpha + 2 \\ &=& 4\alpha + 2 \end{eqnarray*}$

Τότε από το υποερώτημα (3α.) ισοδύναμα βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{3}{2} < \alpha < 2 & \Leftrightarrow & 4 \cdot \dfrac{3}{2} < 4 \cdot \alpha < 4 \cdot 2 \\\\ & \Leftrightarrow & 6 < 4\alpha < 8 \\\\ & \Leftrightarrow & 6 + 2 < 4\alpha + 2 < 8 + 2\\\\ &\Leftrightarrow & 8 < \Pi < 10. \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1520 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά