ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Για κάθε x \in [0, 2\pi] είναι:

    \[f'(x) = (x - \sigma\upsilon\nu x)' = 1 + \eta\mu x \geq 0\]

Η ισότητα f'(x) = 0 \Leftrightarrow \eta\mu x = -1 ισχύει μόνο για x = \dfrac{3\pi}{2}, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα (\uparrowtail) στο [0, 2\pi]. Συνεπώς η f είναι και 1 - 1.

2.) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

    \[E = \displaystyle\int_{-1}^{\pi + 1} |f^{-1}(x)| ~dx\]

Θέτουμε x = f(u), οπότε είναι dx = f'(u)du. Επίσης:

\bullet για x = -1 είναι f(u) = -1 \Leftrightarrow f(u) = f(0) \Leftrightarrow u = 0.

\bullet για x = \pi +1 είναι f(u) = \pi + 1 \Leftrightarrow f(u) = f(\pi) \Leftrightarrow u = \pi.

Επομένως είναι:

    \begin{align*} 	E & = \displaystyle\int_{0}^{\pi} |f^{-1}\big(f(u)\big)| f'(u) ~du = \displaystyle\int_{0}^{\pi} |u|(1 + \eta\mu u) ~du = \\[3mm] 	& = \displaystyle\int_{0}^{\pi} (u + u \cdot \eta\mu u) ~du = \displaystyle\int_{0}^{\pi} u ~du - \displaystyle\int_{0}^{\pi}u (\sigma\upsilon\nu u)' ~du = \\[3mm] 	& = \bigg[\dfrac{u^2}{2}\bigg]_{0}^{\pi} - \big[u \cdot \sigma\upsilon\nu u\big]_{0}^{\pi} + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sigma\upsilon\nu u ~du = \\[3mm] 	& = \dfrac{\pi^2}{2} + \pi + [\eta\mu u]_{0}^{\pi} = \dfrac{\pi^2}{2} + \pi 	\end{align*}

3.) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της C_f με την ευθεία y = x Έχουμε:

    \begin{align*} 	f(x) & = x \Leftrightarrow x - \sigma\upsilon\nu x = x \Leftrightarrow \sigma\upsilon\nu = 0 \\[3mm] 	& = \bigg(x = \dfrac{\pi}{2} ~\text{ή} ~x = \dfrac{3\pi}{2}\bigg) 	\end{align*}

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

    \begin{align*} 	E & = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} |f(x) - x| ~dx = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}}|-\sigma\upsilon\nu x| ~dx =\\[3mm] 	& = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} -\sigma\upsilon\nu x ~dx = 2\big[-\eta\mu x\big]_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} = \\[3mm] 	& = 2\bigg(-\eta\mu\dfrac{3\pi}{2} + \eta\mu\dfrac{\pi}{2}\bigg) = 4 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *