ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Για κάθε $x \in [0, 2\pi]$ είναι:

$f'(x) = (x - \sigma\upsilon\nu x)' = 1 + \eta\mu x \geq 0$

Η ισότητα $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \eta\mu x = -1$ ισχύει μόνο για $x = \dfrac{3\pi}{2},$ άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα $(\uparrowtail)$ στο $[0, 2\pi].$ Συνεπώς η $f$ είναι και $1 - 1.$

2.) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$E = \displaystyle\int_{-1}^{\pi + 1} |f^{-1}(x)| ~dx$

Θέτουμε $x = f(u),$ οπότε είναι $dx = f'(u)du.$ Επίσης:

$\bullet$ για $x = -1$ είναι $f(u) = -1 \Leftrightarrow f(u) = f(0) \Leftrightarrow u = 0.$

$\bullet$ για $x = \pi +1$ είναι $f(u) = \pi + 1 \Leftrightarrow f(u) = f(\pi) \Leftrightarrow u = \pi.$

Επομένως είναι:

$\begin{align*} E & = \displaystyle\int_{0}^{\pi} |f^{-1}\big(f(u)\big)| f'(u) ~du = \displaystyle\int_{0}^{\pi} |u|(1 + \eta\mu u) ~du = \\[3mm] & = \displaystyle\int_{0}^{\pi} (u + u \cdot \eta\mu u) ~du = \displaystyle\int_{0}^{\pi} u ~du - \displaystyle\int_{0}^{\pi}u (\sigma\upsilon\nu u)' ~du = \\[3mm] & = \bigg[\dfrac{u^2}{2}\bigg]_{0}^{\pi} - \big[u \cdot \sigma\upsilon\nu u\big]_{0}^{\pi} + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sigma\upsilon\nu u ~du = \\[3mm] & = \dfrac{\pi^2}{2} + \pi + [\eta\mu u]_{0}^{\pi} = \dfrac{\pi^2}{2} + \pi \end{align*}$

3.) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της $C_f$ με την ευθεία $y = x$ Έχουμε:

$\begin{align*} f(x) & = x \Leftrightarrow x - \sigma\upsilon\nu x = x \Leftrightarrow \sigma\upsilon\nu = 0 \\[3mm] & = \bigg(x = \dfrac{\pi}{2} ~\text{ή} ~x = \dfrac{3\pi}{2}\bigg) \end{align*}$

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\begin{align*} E & = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} |f(x) - x| ~dx = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}}|-\sigma\upsilon\nu x| ~dx =\\[3mm] & = 2\displaystyle\int_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} -\sigma\upsilon\nu x ~dx = 2\big[-\eta\mu x\big]_{\textstyle\frac{\pi}{2}}^{\textstyle\frac{3\pi}{2}} = \\[3mm] & = 2\bigg(-\eta\mu\dfrac{3\pi}{2} + \eta\mu\dfrac{\pi}{2}\bigg) = 4. \end{align*}$

ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται η συνάρτηση $f:\rr \to \rr.$ με τύπο $f(x)=x^{5}+2x -3$
1. ) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1-1
2.) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται απο τη $C_{f^{-1}},$ την ευθεία $x =-6$ και τους άξονες $x'x$ και $y'y.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά