ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΟΥ

Διαχωρισμός χωρίου

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Όπως φαίνεται στο σχήμα, το $\Omega$ είναι η ένωση των $\Omega_1$ και $\Omega_2.$

Πρέπει:

$E(\Omega_2) = \dfrac{E(\Omega)}{2} \quad (1)$

Έχουμε:

$\bullet E(\Omega) = \displaystyle\int_{-2}^{2} (4 - x^2) ~dx = \bigg[4x - \dfrac{x^3}{3}\bigg]_{-2}^{2} = \dfrac{32}{3}$

$\bullet E(\Omega_2) = \displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} (\lambda^2 - x^2) ~dx = \bigg[\lambda^2 x - \dfrac{x^3}{3}\bigg]_{-\lambda}^{\lambda}$

$=\lambda^3 - \dfrac{\lambda^3}{3} - \bigg(-\lambda^3 + \dfrac{\lambda^3}{3}\bigg)$

$=\lambda^3 - \dfrac{\lambda^3}{3} +\lambda^3 - \dfrac{\lambda^3}{3}$

$= 2\lambda^3 - \dfrac{2\lambda^3}{3}$

Έχουμε:

$\begin{align*} (1) \Rightarrow & 2\lambda^3 - \dfrac{2\lambda^3}{3} = \dfrac{\frac{16}{3}}{2} \\\\ \Rightarrow & 2\lambda^3 - \dfrac{2\lambda^3}{3} = \dfrac{16}{3} \\\\ \xRightarrow[]{*\frac{1}{2}} & \dfrac{1}{2}\cdot 2\lambda^3 - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2\lambda^3}{3} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{16}{3} \\\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot {\cancel{2}}\lambda^3 - \dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\dfrac{\cancel{2}\lambda^3}{3} = \dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot \dfrac{\cancelto{8}{16}}{3} \\\\ \Rightarrow& \lambda^3 - \dfrac{\lambda^3}{3} = \dfrac{8}{3}\\\\ \xRightarrow[]{*3}& 3\cdot\lambda^3 -3\cdot \dfrac{\lambda^3}{3} = 3\cdot\dfrac{8}{3}\\\\ \Rightarrow & 3\cdot\lambda^3 -{\cancel{3}}\cdot \dfrac{\lambda^3}{\cancel{3}} = \cancel{3}\cdot\dfrac{8}{\cancel{3}}\\\\ \Rightarrow & 3\cdot\lambda^3 -\lambda^3 = 8 \\\\ \Rightarrow & 2\lambda^3 = 8 \Leftrightarrow \lambda^3 = 4 \\\\ \Rightarrow & \lambda = \sqrt[3]{4} \end{align*}$

Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι:

$y = \lambda^2 \Leftrightarrow y = \Big(\sqrt[3]{4}\Big)^{2}\Leftrightarrow y = \sqrt[3]{16} \Leftrightarrow$

$y = \sqrt[3]{8 \cdot 2} \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} \Leftrightarrow y = 2\sqrt[3]{2}$

Άσκηση:
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = \dfrac{1}{x},$ με $x>0,$ και έστω $\Omega$ το χωρίο που περικλείεται απο τη $C_{f}$
τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x =1$ και $x =e^{2}.$ Να βρείτε ευθεία $x = \lambda$ η οποία να χωρίζει το $\Omega$ σε δύο ίσο-εμβαδικά χωρία.