ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΚΛΕΙΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Εμβαδόν που περικλείεται από τρεις ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις

Rendered by QuickLaTeX.com

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ — ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δύο οι γραφικές παραστάσεις.

$\bullet$ Η $C_f$ τέμνει την $C_g$ όταν:

$f(x) = g(x),$

οπότε για $x>0,$ λύνουμε την εξίσωση:

$f(x) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \sqrt{x} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2} = x \Leftrightarrow x^3 = 1 \Leftrightarrow x = 1.$

$\bullet$ Η $C_g$ τέμνει την $C_h$ όταν:

$g(x) =h(x)\Leftrightarrow$

$\sqrt{x} = \dfrac{3x - 4}{4}$

Από τα δεδομένα της άσκησης ισχύει $x>0$
Άρα $\sqrt{x} > 0$ για κάθε $x > 0,$ δηλαδή η εξίσωση έχει νόημα όταν

$x> 0$ και $\dfrac{3x - 4}{4}> 0\Leftrightarrow 3x-4> \Leftrightarrow 3x > 4 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}$

Οπότε η παραπάνω εξίσωση για $x > \dfrac{3}{4}$ γίνεται:

$\sqrt{x} = \dfrac{3x - 4}{4}$

$4\sqrt{x} = 3x - 4 \Leftrightarrow 16x = (3x - 4)^2 \Leftrightarrow$

$16x = 9x^2 - 24x + 16 \Leftrightarrow 9x^2 - 40x + 16 = 0 \Leftrightarrow$

$\bigg(x = 4 ~\text{ή} ~x=\dfrac{4}{9} ~\big(\text{απορρίπτεται}\big)\bigg).$

$\bullet$ Η $C_f$ τέμνει την $C_h$ όταν:

$f(x) = h(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{3x - 4}{4} \Leftrightarrow$

$4 = 3x^2 - 4x \Leftrightarrow 3x^2 - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow$

$\bigg(x = 2 ~\text{ή} ~x = -\dfrac{2}{3} ~\big(\text{απορρίπτεται}\big)\bigg)$

αφού $x>0$

Σύμφωνα με το επόμενο σχήμα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\begin{align*} E &= E(\Omega_1) + E(\Omega_2) = \\\\ & = \displaystyle\int_{1}^{2} \big(g(x) - f(x)\big) ~dx + \displaystyle\int_{2}^{4} \big(g(x) - h(x)\big) ~dx = \\\\ & = \displaystyle\int_{1}^{2} \bigg(\sqrt{x} - \dfrac{1}{x}\bigg) ~dx + \displaystyle\int_{2}^{4} \bigg(\sqrt{x} - \dfrac{3}{4}x + 1\bigg) ~dx = \\\\ & = \displaystyle\int_{1}^{2} \bigg(x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{x}\bigg) ~dx + \displaystyle\int_{2}^{4} \bigg(x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{3}{4}x + 1\bigg) ~dx = \\\\ & =\bigg[\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \ln x\bigg]_{1}^{2} + \bigg[\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{x^2}{2} + x\bigg]_{2}^{4} =\\\\ & =\bigg[{\dfrac{2}{3}}\cdot{x^{\frac{3}{2}}} - \ln x\bigg]_{1}^{2} + \bigg[{\dfrac{2}{3}}\cdot{x^{\frac{3}{2}}} - \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{x^2}{2} + x\bigg]_{2}^{4} =\\\\ & =\bigg[\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} - \ln x\bigg]_{1}^{2} + \bigg[\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} - \dfrac{3}{8}x^2 + x\bigg]_{2}^{4} =\\\\ \end{align*}$

$\[\]$

$\\\\ \Bigg[ \bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{2^3} - \ln 2\bigg) -\bigg(\dfrac{2}{3}{\cancelto{1}{\sqrt{1^3}} -{\cancelto{0}{ \ln 1}\bigg)\Bigg]+ \Bigg[\bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{4^3} - \dfrac{3}{8}4^2 + 4\bigg)-\bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{2^3} - \dfrac{3}{8}2^2 + 2\bigg)\Bigg] =$

$\[\]$

$\\\\ \Bigg[ \bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{2^2\cdot 2} - \ln 2\bigg) -\dfrac{2}{3} \Bigg]+ \Bigg[\bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{64} - \dfrac{3}{8}\cdot 16 + 4\bigg)-\bigg(\dfrac{2}{3}\sqrt{2^2\cdot 2} - \dfrac{3}{8}\cdot 4 + 2\bigg)\Bigg] =$

$\[\]$

$\Bigg[ \bigg(\dfrac{2}{3}2\cdot\sqrt{ 2} - \ln 2\bigg) -\dfrac{2}{3} \Bigg]+ \Bigg[\bigg(\dfrac{2}{3}\cdot 8 - 3\cdot 2 + 4\bigg)-\bigg(\dfrac{2}{3}2\cdot\sqrt{2} - \dfrac{3}{2} + 2\bigg)\Bigg] =$

$\[\]$

$\Bigg[ \bigg(\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{ 2} - \ln 2\bigg) - \dfrac{2}{3} \Bigg]+ \Bigg[\bigg(\dfrac{16}{3} - 6 + 4\bigg)-\bigg(\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{2} - \dfrac{3}{2} + 2\bigg)\Bigg] =$

$\[\]$

${\cancel{\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{ 2}}} - \ln 2 -\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3} - 6 + 4-{\cancel{\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{2} }}+ \dfrac{3}{2} - 2 =$

$\[\]$

$-\ln 2 + \dfrac{14}{3} - 4 + \dfrac{3}{2}= \dfrac{13}{6} -\ln 2.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΚΛΕΙΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά