Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name

Γ Λυκείου / ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

Σημείο ανήκει σε $C_{f}$

Ένα σημείο $M(x_{0}, y_{0})$ ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ αν και μόνο αν ισχύει: $f(x_{0})=y_{0}$

Σημείο τομής της γραφικης παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες ή με άλλες συναρτήσεις.

Για να βρούμε:

Το σημείο τομής με τον άξονα $x'x.$

Θέτουμε $y=0$ και λύνουμε την εξίσωση $f(x)=0$ . Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα μας δώσει τα σημεία τομής.

Το σημείο τομής με τον άξονα $y'y.$

Θέτουμε $x=0$ και λύνουμε την εξίσωση $y=f(0)$ . Το σημείο τομής με τον άξονα $y'y$ είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το $A(0,f(0))$ . Εφόσον υπάρχει τέτοιο σημείο αυτό είναι και μοναδικό.

Τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων $f(x)$ και $g(x).$

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, Β Λυκείου / ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

6 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 4 σχόλια

Μια συνάρτηση $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ λέγεται άρτια όταν:

Για κάθε $x \in A$ είναι και $-x \in A$
Ισχύει $f(-x)=f(x)$ για κάθε $x \in A$

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y.$

Μια συνάρτηση $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ λέγεται περιττή όταν:

Για κάθε $x \in A$ είναι και $-x \in A$
Ισχύει $f(-x)=-f(x)$ για κάθε $x \in A$

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

5 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Παράδειγμα.1
Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in\mathbb{R},$ ισχύει:

$f(x)+3f(2-x)=-4x$

Να βρείτε:
i) Την τιμή $f(1).$
ii) Τον τύπο της συνάρτησης $f.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

5 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης $f$ εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της $f$ .
Θεωρούμε την εξίσωση $y=f(x)$ και τη λύνουμε ως προς $x$ θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το $y$ .
Απαιτούμε η λύση $x$ που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f.$
Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το $y$ και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της $f$ .
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Παράδειγμα.1
Να βρείτε για ποιές τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

$f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]$

είναι το $\mathbb{R}.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ →

Γ Λυκείου / ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης $f$ , τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ στο οποίο ο τύπος της $f(x)$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το $\mathbb{R}$ εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $Q(x) \neq 0$

$f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\}$ τότε θα πρέπει $P(x) \geq 0$

$f(x)=ln(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

$f(x)=\epsilon\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=\sigma\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=(P(x))^{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

Όπου $P(x), \, \, Q(x)$ πολυώνυμα του $x\in \rr.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

15 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει

$\kappa_1f'(\xi_1)+\kappa_2f'(\xi_2)+...+\kappa_{\nu}f'(\xi_{\nu})=\lambda$

τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Ο χωρισμός θα πρέπει να γίνει ως εξής:
Έστω $\delta=\beta-\alpha$ το πλάτος του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ και

$\kappa=\kappa_1+\kappa_2+...+\kappa_\nu$

Θεωρούμε τα υποδιαστήματα $[\alpha,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{\nu-1},\beta]$ με αντίστοιχα πλάτη

$\delta_1=\frac{\kappa_1}{\kappa}\cdot\delta, \delta_2=\frac{\kappa_2}{\kappa}\cdot\delta,...,\delta_{\nu}=\frac{\kappa_\nu}{\kappa}\cdot\delta$

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

10 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Περίπτωση 1
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει
$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda$ τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

Αν έχουμε δεδομένα για τιμές της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ , τότε αυτές μας δείχνουν με ποιον τρόπο θα χωρίσουμε το $[\alpha,\beta]$ σε υποδιαστήματα.

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

9 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:

Συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$

Παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

5 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

$f'(x)+g(x)f(x)=0 \quad (1)$

έχει μία τουλάχιστον λύση σε ένα διάστημα $(\alpha,\beta)$ τότε:

Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση $G$ της $g$ για την οποία ισχύει

$G'(x)=g(x)$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση $(1)$ με $e^{G(x)}$ και ισοδύναμα έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x)+g(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+G'(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}\Big( f'(x)+G'(x)f(x)\Big) =e^{G(x)}\cdot 0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+G'(x)e^{G(x)}f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+(e^{G(x)})'f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &(e^{G(x)}f(x))'=0 \end{align*}$

και στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την

$h(x)=e^{G(x)}f(x) \quad \text{στο} \quad [\alpha,\beta]$

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά