Αρχείο κατηγορίας ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1 σχόλιο

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ισχύουν:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

        \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

        \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ →

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σχολιάστε

Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

    •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

    •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}.

    Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των C_f και C_{f^{-1}} με τον άξονα συμμετρίας τους y=x.

    Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση f^{-1}(x)=x, τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση f ( x) = x , διότι τα σημεία τομής της C_{f^{-1}} με την ευθεία y = x (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της C_ f με την ίδια ευθεία.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    2 σχόλια

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
    • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
      όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
    • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
    • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →