Αρχείο κατηγορίας ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

3 σχόλια

Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της f^{-1} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in f(A) με την προυπόθεση ότι f'(f^{-1}(x_0))\neq0.
Συνεπώς για κάθε x\in A ισχύει ότι:

    \[f^{-1}(f(x))=x\]

Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

    \begin{align*} &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Σχολιάστε

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει

    \[f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}\]

Να βρείτε τις τιμές f(0) και f'(0)
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Σχολιάστε

Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών x,y\in\mathbb{R} στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (f(x))^{g(x)}

Σχολιάστε

Για κάθε πραγματικό αριθμό \alpha>0 ισχύει ότι: \alpha=e^{ln\alpha}
Μια συνάρτηση της μορφής f(x)=(g(x))^{h(x)} ορίζεται όταν: g(x)>0 και h(x)\in\mathbb{R}
Για να βρούμε την f'(x), γράφουμε τον τύπο της f(x) ως εξής:

    \begin{align*} f(x)&=(g(x))^{h(x)}\\\\ &=e^{ln[g(x)]^{h(x)}}\\\\ &=e^{h(x)lng(x)} \end{align*}

Οπότε έχουμε f'(x) = \Big(e^{^{h(x)lng(x)}}\Big)' =e^{^{h(x)lng(x)}}\cdot(h(x)lng(x))'
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (f(x))^{g(x)} →