Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-5x+4$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ , η οποία:
i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης $3.$
ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία $(\zeta): y=5x-7.$
iii) Είναι κάθετη στην ευθεία $(\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}$
iv) Να είναι παράλληλη στο άξονα $x'x.$
v) Να σχηματίζει γωνία $45^{\circ}$ με τον άξονα $x'x.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

21 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 2 σχόλια

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-5x+9$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο της $A(2,f(2)).$
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

19 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 3 σχόλια

Έστω $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ μια συνάρτηση $1-1$ και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0\in f(A)$ με την προυπόθεση ότι $f'(f^{-1}(x_0))\neq0.$
Συνεπώς για κάθε $x\in A$ ισχύει ότι:

$f^{-1}(f(x))=x$

Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

$\begin{align*} &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

18 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}$

Να βρείτε τις τιμές $f(0)$ και $f'(0)$
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

18 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών $x,y\in\mathbb{R}$ στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς $x$ , θεωρώντας το $x$ μεταβλητή και το $y$ αριθμητική σταθερά.
Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς $y$ , θεωρώντας το $y$ μεταβλητή και το $x$ αριθμητική σταθερά.
Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$ για την οποία ισχύει
$f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)} \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in(0,+\infty)$
Να αποδείξετε ότι

$f'(x)-f'(y)=-\frac{y-x}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ $(f(x))^{g(x)}$

16 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Για κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha>0$ ισχύει ότι: $\alpha=e^{ln\alpha}$
Μια συνάρτηση της μορφής $f(x)=(g(x))^{h(x)}$ ορίζεται όταν: $g(x)>0$ και $h(x)\in\mathbb{R}$
Για να βρούμε την $f'(x),$ γράφουμε τον τύπο της $f(x)$ ως εξής:

$\begin{align*} f(x)&=(g(x))^{h(x)}\\\\ &=e^{ln[g(x)]^{h(x)}}\\\\ &=e^{h(x)lng(x)} \end{align*}$

Οπότε έχουμε $f'(x) = \Big(e^{^{h(x)lng(x)}}\Big)' =e^{^{h(x)lng(x)}}\cdot(h(x)lng(x))'$
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ $(f(x))^{g(x)}$ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

14 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3+x, \quad x\leq1$ \\ $2x^2, \quad x>1$ \end{tabular} \right.$

Να βρείτε την $f'(x)$
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

10 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

$\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'= f'\big( g(x)\big) \cdot g'(x)$

Παραδείγματα

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ

10 Νοεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

$\Big( \dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)' =\dfrac{f'(x)\cdot g(x)- f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ →

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ $(f(x))^{g(x)}$

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά