Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα στο $(\alpha,\beta)$ εργαζόμαστε ως εξής:

* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα $x_o\in (\alpha,\beta)$ .
* Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $(\alpha, \beta)$ , οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.
Συνέχεια ανάγνωσης Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα →

ΥΠΑΡΞΗ ρίζας σε κλειστο διάστημα $[a,b]$

13 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει $x_o\in[\alpha,\beta]$ που ικανοποιεί μία ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής:
* Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ισότητας στο πρώτο μέλος, θέτουμε όπου $x_o$ το $x$ και ονομάζουμε $h(x)$ τη συνάρτηση στο πρώτο μέλος.
* Αποδεικνύουμε ότι η $h$ είναι συνεχής στο $[\alpha ,\beta]$ και διαπιστώνουμε ότι $h(\alpha)\cdot h(\beta)\leq 0$ .
* Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Αν: $h(\alpha)\cdot h(\beta)=0\Rightarrow h(\alpha)=0\quad$ ή $\quad h(\beta)=0$
Οπότε είναι $x_o=\alpha \quad$ ή $\quad x_o=\beta$
2) Αν $h(\alpha)\cdot h(\beta)<0$ , τότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_o\in(\alpha , \beta)$ , ώστε $h(x_o)=0.$
* Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει $x_o\in [\alpha,\beta]$ ώστε $h(x_o)=0$ .
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ρίζας σε κλειστο διάστημα $[a,b]$ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO,ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOLZANO

ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

12 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 2 σχόλια

Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση $f(x)$ . Στο τέλος αποδεικνύουμε ότι η ρίζα της $f(x)$ είναι και ρίζα της εξίσωσης.

Συνέχεια ανάγνωσης →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO,ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOLZANO

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

10 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

Έστω μια συνάρτηση $f$ , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\left[ \alpha ,\beta \right]$ . Αν ισχύει ότι:
* Η $f$ είναι συνεχής στο $\left[ \alpha , \beta \right]$ και
* $f(\alpha) \cdot f(\beta)<0$
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{o} \in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε:

$f(x_{o})=0$

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$ στο ανοιχτό διάστημα $\left( \alpha ,\beta \right)$
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΦΑΡΜΟΓΗ

10 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $A(1,2)$ και $B(3,1)$ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(1,3).$