ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 2 με f'(2)=1
Να υπολογίσετε τα όρια:

i) \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}

ii)\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2-h)}{h}
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2
Να υπολογίσετε τα όρια

i) \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(2x)-f(0)}{x}

ii)\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(7x)-f(3x)}{x}
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 2 για την οποία ισχύει:

\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}=7 \quad και \,\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8

Να βρείτε τις τιμές f(2) και f'(2)
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2 της οποίας η γραφική παράσταση δεν διέρχεται απο την αρχή των αξόνων. Επιπλέον ισχύει

    \[f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in\mathbb{R}\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in\mathbb{R} και ισχύει

    \[f'(x_{0})=2f(x_0)-\eta\mu x_0\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to 0}\frac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=8\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
iii) Να υπολογίσετε το

    \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)\eta\mu x}{\eta\mu^23x}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2\]

για κάθε x\in\mathbb{R}.
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{         	\begin{tabular}{ll} 				$x^3,  \quad x \geq2$ \\ 				$x^2+\alpha x+\beta, \quad x < 2$  			\end{tabular} 		\right.  		\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha,\beta\in\mathbb{R}, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 2.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Όταν μας ζητούν να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) πολλαπλού τύπου σε ένα σημείο x_o στο οποίο αλλάζει ο τύπος εργαζόμαστε ως εξής:
* Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:

    \[\lim_{x \to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και

    \[\lim_{x \to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

* Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με έναν πραγματικό αριθμό l τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_o και ισχύει f'(x_o)=l. Σε κάθε άλλη περίπτωση η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_o.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_o του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

    \[ \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_o και συμβολίζεται με f'(x_o). Δηλαδή:

    \[f'(x_o)=\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Αν, τώρα στo όριο θέσουμε
x=x_o+h  \,\, (1), τότε έχουμε

    \[x \to x_{o}\overset{(1)}{\Rightarrow}x_o+h \to x_{0} \Rightarrow h \to x_{0}-x_{0}\Rightarrow h \to 0\]

Επίσης x-x_{0} \overset{(1)}{=} x_{0} +h -x_{0} =h άρα

f'(x_o)=\displaystyle\lim_{x \to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\Leftrightarrow f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}

Συνεπως ο ισοδύναμος ορισμός υπολόγισμου της παραγώγου είναι:

    \[f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Wordpress Social Share Plugin powered by Ultimatelysocial

Ζητάμε 5' από τον πολύτιμό σας χρόνο και την άποψή σας για να γίνουμε καλύτεροι.

Ερωτηματολόγιο