Αρχείο ετικέτας ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Γ Λυκείου,ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑ 14

Σχολιάστε

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑ 14

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑ 14 →

Γ Λυκείου,ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΠΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 12

Σχολιάστε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 12

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 12 →

Γ Λυκείου,ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΜΤ ΘΕΜΑ 1

Σχολιάστε

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΜΑ 1

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΜΤ ΘΕΜΑ 1 →

Γ Λυκείου,ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΜΑ 1

Σχολιάστε

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΜΑ 1

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΜΑ 1 →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε

Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

    \[f'(x)=g'(x)\]

για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1, \Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Σχολιάστε

Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Οι f,g είναι συνεχείς στο \Delta και
  • f'(x)=g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    • Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει:

        \[f(x)=g(x)+c\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

    Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

    1 σχόλιο

    Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f'(x)+g(x)f(x)=0 \quad (1)\]

    έχει μία τουλάχιστον λύση σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) τότε:

  • Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (1) με e^{G(x)} και ισοδύναμα έχουμε:

    •     \begin{align*} &f'(x)+g(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+G'(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}\Big( f'(x)+G'(x)f(x)\Big) =e^{G(x)}\cdot 0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+G'(x)e^{G(x)}f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+(e^{G(x)})'f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &(e^{G(x)}f(x))'=0 \end{align*}

    και στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την

        \[h(x)=e^{G(x)}f(x) \quad \text{στο} \quad [\alpha,\beta]\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

    Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

    3 Σχόλια

    Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική μιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

    *f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\Big(f(x)g(x)\Big)'

    *f(x)+xf'(x)=(xf(x))'

    *\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)' g(x)\neq 0

    *\dfrac{f'(x)+xf'(x)}{x^2}=\Big(\dfrac{f(x)}{x}\Big)' x\neq 0

    *f^{\nu}(x)f'(x)=\Big(\dfrac{f^{\nu+1}(x)}{\nu+1}\Big)'

    *x^{\nu}=\Big(\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}\Big)'

    *e^{f(x)}f'(x)=\Big(e^{f(x)}\Big)'

    *\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\Big(ln|f(x)|\Big)' f(x)\neq 0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ →

    Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f(x)=0\]

    έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα \Delta και
    δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano, τότε μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    * Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της f για την οποία ισχύει

        \[F'(x)=f(x)\]

    * Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f στο διάστημα \Delta, αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →