Αρχείο ετικέτας ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

82 ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

82 ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης 82 ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στα ολοκληρώματα ρητής ή άρρητηςσυνάρτησης όπου η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο ως x^{2} αρκετές φορές χρειάζεται να κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου ή της εφαπτομένης αξιοποιόντας την ταυτότητα \hm^{2}x+ \syn^{2}x =1.

Τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου


Για υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής

    \[\int_{\kappa}^{\lambda} f\Big( x, \sqrt{\beta^{2} -\alpha^{2}x^{2}}\Big)\, dx.\]

Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου δηλαδή:

    \[\text{Θέτουμε } \quad x = \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \hm u \quad \text{με} \quad u \in \big[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\big].\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx  = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow  k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

    Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

        \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

    Οπότε έχουμε:

        \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

    Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
    ως προς x.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ