Αρχείο ετικέτας FERMAT

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής στο κλειστό $[\alpha,\beta]$ παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο $[\alpha,\beta].$ Δηλαδή υπάρχουν με $f(x_1)=\mu$ και $f(x_2)=M,$
ώστε $\mu\leq f(x)\leq M$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta].$

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

19 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις $f,g:A\rightarrow\rr.$
Αν η $f$ έχει ολικό ελάχιστο το $\mu$
και η $g$ έχει ολικό μέγιστο το $M$
και ισχύει $\mu\geq M,$
τότε ισχύει ότι $f(x)\geq g(x)$ για κάθε $x\in A.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

18 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό ελάχιστο $\mu>0$ τότε ισχύει ότι $f(x)>0$ για κάθε $x\in A.$

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό μέγιστο $M<0$ τότε ισχύει ότι $f(x)<0$ για κάθε $x\in A.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

17 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

$A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)$

μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση $f(x),$ οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$
Μελετάμε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το $0,$ οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

16 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν μια συνάρτηση $f:A\rightarrow\rr$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $0$ μόνο στο $x_0$ , τότε το $x_0$ είναι μοναδική ρίζα της $f$ και ισχύει $f(x)>0$ για κάθε $x\in A-\{x_0\}.$
Αν μια συνάρτηση $f:A\rightarrow\rr$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο το $0$ μόνο στο $x_0$ , τότε το $x_0$ είναι μοναδική ρίζα της $f$ και ισχύει $f(x)<0$ για κάθε $x\in A-\{x_0\}.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

13 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η $f$ παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο $x_0,$ το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος $\Delta$ του πεδίου ορισμού της $f,$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι $f'(x_0)=0.$ Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ →

Ν. Α. Διακόπουλος

Αρχείο ετικέτας FERMAT

79 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑ 14

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά