Γ Λυκείου / ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΟΣ Α.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33

Rendered by QuickLaTeX.com

Απάντηση

Έστω x_{1},x_{2} \in \Delta με x_{1}< x_{2} θα δείξουμε ότι f(x_{1})< f(x_{2}). Στο διάστημα [x_{1},x_{2}] η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.M.T. και συνεπώς υπάρχει \xi \in (x_{1},x_{2}), ώστε

    \begin{align*} & f'(\xi) = \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\Leftrightarrow \\\\ &f'(\xi)\cdot(x_{2}-x_{1})=f(x_{2})-f(x_{1}) \end{align*}

Επειδή f'(\xi) > 0 και x_{2} -x_{1}>0,
οπότε f(x_{1})-f(x_{2})>0
και τελικά f(x_{1})<f(x_{2})
δηλαδή έχουμε αποδείξει ότι για x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2}) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.

Tα παραπάνω ισχύουν σε ΔΙΑΣΤΗΜΑ και όχι σε ένωση διαστημάτων π.χ. (-\infty,0) \cup (0,+\infty) = \rr^{*}

To αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα)στο \Delta η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του \Delta, αφού μπορεί και να μηδενίζεται.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x) =x^{3} η οποία είναι γνησίως αύξουσα (\nearrowtail) στο \rr αλλά f'(x) =3x^{2}\geq 0 στο \rr.

ΠΡΟΣΟΧΗ. Ο υποψήφιος των πανελλήνιων εξετάσεων θα πρέπει απλά να να συμβουλεύεται τη συγκεκριμένη ερώτηση – απάντηση θεωρίας και να διαβάζει τη θεωρία απο το σχολικό βιβλίο από το οποίο θα εξετασθεί.
Βιβλιογραφία:
1.) Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

2.)Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικά Γ. τάξης γενικού λυκείου ομάδα προσανατολισμού Β. μέρος.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *