Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1521 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1521 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
4.1 Ανισώσεις πρώτου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com


Λύση

1.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} |x - 4| < 2 &\Leftrightarrow& - 2 < x - 4 < 2 \\ &\Leftrightarrow& -2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4 \\ &\Leftrightarrow& 2 < x < 6 \\ &\Leftrightarrow& x \in(2, 6) \end{eqnarray*}

2.)
2a.) Ισχύει ότι:

    \begin{eqnarray*} d(x, 4) < 2 &\Leftrightarrow& |x - 4| < 2 \\ &\xLeftrightarrow{(\alpha)}& 2 < x < 6 \\ &\Leftrightarrow& 2 \cdot 3 < 3 \cdot x < 3 \cdot 6 \\ &\Leftrightarrow& 6 - 4 < 3x - 4 < 18 - 4 \\ &\Leftrightarrow& 2 < 3x - 4 < 14 \end{eqnarray*}

Άρα 3x - 4 > 0 ~(1). Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} 2 < d(3x, 4) < 14 &\Leftrightarrow& 2 < |3x - 4| < 14 \\ &\xLeftrightarrow{(1)}& 2 < 3x - 4 < 14 \\ &\Leftrightarrow&2 + 4 < 3x - 4 + 4 < 14 + 4 \\ &\Leftrightarrow& 6 < 3x < 18 \\ &\xLeftrightarrow{:3}& 2 < x < 6 \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει από το πρώτο ερώτημα.

2b.) Θέλουμε να βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση: d(3x, 19) = |3x - 19|. Από το πρώτο ερώτημα ισοδύναμα βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} 2 < x < 6 &\Leftrightarrow& 2 \cdot 3 < 3 \cdot x < 3 \cdot 6 \\ &\Leftrightarrow& 6 - 19 < 3x - 19 < 18 - 19 \\ &\Leftrightarrow& -13 < 3x - 19 < -1 ~(2) \end{eqnarray*}

Άρα 3x - 19 < 0. Τότε:

    \begin{eqnarray*} d(3x, 19) &=& |3x - 19| \\ &=& -(3x - 19) \\ &=& -3x + 19 \end{eqnarray*}

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης (2) με -1 και βρίσκουμε:

    \begin{align*} -13 & < 3x - 19 < -1 \Leftrightarrow \\ -13 \cdot (-1)& > (3x - 19) \cdot (-1) > -1 \cdot (-1) \Leftrightarrow\\ 13 & > -3x + 19 > 1 \Leftrightarrow\\ 1 & < -3x + 19 < 13 \Leftrightarrow\\ 1 & < d(3x, 19) < 13 \end{align*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *