ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1502 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1502 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

5.2 Αριθμητική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Οι αριθμοί $x^2 + 5, ~x^2 + x, ~2x + 4,$ με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x = \dfrac{x^2 + 5 + 2x + 4}{2} &\Leftrightarrow& 2(x^2 + x) = x^2 + 2x + 9 \\ &\Leftrightarrow& 2x^2 + 2x = x^2 + 2x + 9 \\ &\Leftrightarrow& x^2 = 9 \\ &\Leftrightarrow& (x = -3 ~\text{ή} ~x = 3) \end{eqnarray*}$

2.) Για $x = 3$ είναι: $\alpha_4 = 3^2 + 5 = 14$ και $\alpha_5 = 3^2 + 3 = 12.$

2α.) Η διαφορά $\omega$ της προόδου είναι:

$\omega = \alpha_5 - \alpha_4 = 12 - 14 = -2.$

2β.) Ισχύει ότι;

$\begin{eqnarray*} \alpha_4 = 14 &\Leftrightarrow& \alpha_1 + (4 - 1)\omega = 14 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1 + 3(-2) = 14 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1 -6 = 14 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1 = 20 \end{eqnarray*}$

2γ.) Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$S = \alpha_{15} + \alpha_{16} + \alpha_{17} + \cdots +\alpha_{24}$
$= \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_{14} + \alpha_{15} + \cdots + \alpha_{24} - (\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_{14})$

Δηλαδή θα ισχύει:

$S = S_{24} - S_{14}$

$S = \dfrac{24}{2}[2 \cdot 20 + (24 - 1) \cdot (-2)] - \dfrac{14}{2}[2 \cdot 20 + (14 - 1) \cdot (-2)]$

$S = 12(40 - 46) - 7(40 - 26)$

$S = -72 - 98$

$S = -170.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1502 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά