ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1499 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1499 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
5.2 Αριθμητική πρόοδος,
5.3 Γεωμετρική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Οι αριθμοί $2, x, 8$ με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} x = \dfrac{2 + 8}{2} &\Leftrightarrow& x = \dfrac{10}{2} \\ &\Leftrightarrow& x = 5 \end{eqnarray*}$

Η διαφορά $\omega$ της προόδου είναι:

$\begin{eqnarray*} \omega &=& x - 2 \\ &=& 5 - 2 = 3 \end{eqnarray*}$

2.) Οι αριθμοί $2, x, 8$ με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \cdot 8 &\Leftrightarrow& x^2 = 16 \\ &\xLeftrightarrow{(x > 0)}& x = 4 \end{eqnarray*}$

Ο λόγος $\lambda$ της προόδου είναι:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \dfrac{4}{2} &\Leftrightarrow& \lambda = 2. \end{eqnarray*}$

3.)

3α.) Η αριθμητική πρόοδος είναι $(\alpha_{\nu})$ έχει $\alpha_1 = 2$ και $\omega = 3.$ Τότε:

$\begin{eqnarray*} S_{\nu} = \dfrac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu -1)\omega] &\Leftrightarrow& S_{\nu} = \dfrac{\nu}{2} [2 \cdot 2 + (\nu - 1)3] \\ &\Leftrightarrow& S_{\nu} = \dfrac{\nu}{2} (4 + 3\nu - 3) \\ &\Leftrightarrow& S_{\nu} = \dfrac{\nu}{2} (1 + 3\nu) \\ &\Leftrightarrow& S_{\nu} = \dfrac{\nu + 3\nu^2}{2} \end{eqnarray*}$

3β.) Η γεωμετρική πρόοδος $(\beta_{\nu})$ έχει $\beta_1 = 2$ και $\lambda = 2.$ Είναι:

$\begin{eqnarray*} \beta_7 &=& \beta_1 \lambda^{7 - 1} \\ &=& 2 \cdot 2^6 \\ &=& 2^7 = 128 \end{eqnarray*}$

Tότε:

$\begin{eqnarray*} 2(S_{\nu} + 24) = \beta_7 &\Leftrightarrow& 2\bigg(\dfrac{\nu + 3\nu^2}{2} + 24\bigg) = 128 \\ &\Leftrightarrow& 3\nu^2 + \nu + 48 = 128 \\ &\Leftrightarrow& 3\nu^2 + \nu - 80 = 0 \end{eqnarray*}$

η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-80) \\ &=& 1 + 960 \\ &=& 961 > 0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 3} \\ &=& \dfrac{-1 \pm 31}{6} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-1 + 31}{6} = 5 \\[5mm] \dfrac{-1 -31}{6} = -\dfrac{16}{3} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Η λύση $\nu = -\dfrac{16}{3}$ απορρίπτεται διότι δεν είναι φυσικός αριθμός. Τελικά $\nu = 5.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1499 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά