ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Ιδιότητα 1: Μη Αρνητικότητα
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητική.

$\textcolor{black}{|x| \ge 0} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$

Παράδειγμα: $\textcolor{violet}{|-5| = 5}$ , $\textcolor{violet}{|7| = 7}$

Ιδιότητα 2: Ταυτότητα της Απόλυτης Τιμής
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι μηδέν αν και μόνο αν ο αριθμός είναι μηδέν.

$\textcolor{black}{|x| = 0} \quad \text{αν και μόνο αν } x = 0$

Παράδειγμα: $\textcolor{violet}{|0| = 0}$ , $\textcolor{violet}{|2| = 2 \neq 0}$

Ιδιότητα 3: Απόλυτη Τιμή του Γινομένου
Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους.

$\textcolor{black}{|x \cdot y| = |x| \cdot |y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}$

Παράδειγμα:
είναι

$\textcolor{violet}{|(-3) \cdot 4| = |-12| = 12}$

και

$\textcolor{violet}{|-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12}$

άρα

$\textcolor{violet}{ |(-3) \cdot 4| =|-3| \cdot |4| = 12 }$

Ιδιότητα 4: Απόλυτη Τιμή του Πηλίκου
Η απόλυτη τιμή του πηλίκου δύο αριθμών είναι ίση με το πηλίκο των απόλυτων τιμών τους, εφόσον ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.

$\textcolor{black}{\bigg | \dfrac{x}{y}\bigg | = \frac{|x|}{|y|}} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R} \text{ με } y \neq 0$

Παράδειγμα:
ειναι

$\textcolor{violet}{\bigg | \dfrac{-6}{3} \bigg | =\bigg | - \dfrac{6}{3} \bigg| =\dfrac{6}{3}= 2}$

και

$\textcolor{violet}{\dfrac{|-6|}{|3|}=\dfrac{6}{3}= 2}$

άρα

$\textcolor{violet}{ \bigg | \dfrac{-6}{3} \bigg |= \dfrac{|-6|}{|3| } =2 }$

Ιδιότητα 5: Απόλυτη Τιμή του Τετραγώνου
Η απόλυτη τιμή του τετραγώνου ενός αριθμού είναι ίση με το τετράγωνο της απόλυτης τιμής του αριθμού.

$\textcolor{black}{|x|^2 = (x)^2} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$

Παράδειγμα:
είναι

$\textcolor{violet}{|-4|^2=(+4)^2=16}$

και

$\textcolor{violet}{(-4)^2=16 }$

άρα

$\textcolor{violet}{|-4|^2=(-4)^2=16}$

Ιδιότητα 6: Σύγκριση της Απόλυτης Τιμής με τον Αριθμό και το Αντίθετο
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από τον αριθμό και το αντίθετό του.

$\textcolor{black}{|x| \ge x}$

$\textcolor{black}{|x| \ge -x}$

Παράδειγμα: $\textcolor{violet}{|-5| \ge -5}$ και $\textcolor{violet}{|-5| \ge 5}$ (διότι $\textcolor{violet}{|-5| = 5}$ )

Ιδιότητα 7: Ιδιότητα Τριγώνου (Ανισότητα Τριγώνου)
Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση με το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους.

$\textcolor{black}{|x + y| \le |x| + |y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}$

Το $=$ ισχύει για $x,y$ ομόσημους ή εάν ένα τουλάχιστον απο τα $x,y$ ισούται με μηδεν $0$

Παράδειγμα: $\textcolor{violet}{|-3 + 4| = |1| = 1}$ και $\textcolor{violet}{|-3| + |4| = 3 + 4 = 7}$ , επειδή

$\textcolor{violet}{1 < 7}$

άρα

$\textcolor{violet}{|-3 + 4| < |-3| + |4|}$

Ιδιότητα 8: Ιδιότητα Τριγώνου (Αντίστροφη)
Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των απόλυτων τιμών δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους.

$\textcolor{black}{\Bigg||x| - |y|\Bigg| \le |x - y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}$

Το = ισχύει οταν τα $x,$ $\,y$ ειναι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί ή οταν τουλαχιστον ενα απο τα $x,$ $\,y$ ισούται με μηδεν

Παράδειγμα:
είναι

$\textcolor{violet}{\Bigg||-4| - |+2|\Bigg| = |4 - 2| = 2}$

και

$\textcolor{violet}{|-4 -(+ 2)|=|-4-2| = |-6| = 6}$

επειδή

$\textcolor{violet}{2 < 6}$

έχουμε

$\textcolor{violet}{\Bigg||-4| - |+2|\Bigg| < \bigg|(-4) -(+ 2)\bigg|}$

Ιδιότητα 9:Τριγωνική ανισότητα για τους πραγματικούς αριθμούς
Συνδυάζοντας τις ιδιότητες 7 και 8 μπορούμε να τις γάψουμε σε μια διπλή διάταξη.
Για κάθε $x,y \in \rr$ ισχύει:

$\Big||x| - |y|\Big|\le |x \pm y| \le |x| + |y|$

Ιδιότητα 10: Απόλυτη Τιμή του Αντίθετου
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ίση με την απόλυτη τιμή του αντίθετου αριθμού.

$\textcolor{black}{|-x| = |x|} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$

Παράδειγμα: $\textcolor{violet}{|-7| = 7}$ και $\textcolor{violet}{|7| = 7}$
δηλαδή:

${\textcolor{violet}|-7| =|7|.}$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά