ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΟΤΗΤΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση.

Παρατηρούμε ότι για $x=2$ η ζητούμενη τιμή $f(2)$ απαλείφεται αφού:

$(2-2)\cdot f(2) = 2^{2}- 4$

$0\cdot f(2) = 4- 4$

$0\cdot f(2) = 0$

$0 =0.$

Οπότε, αφού για κάθε $x\in \rr$ ισχύει

$(x-2)\cdot f(x) = x^{2}- 4$

τότε λύνοντας ως προς $f(x)$ θα ισχύει επίσης ότι:

$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}, \quad \text{αν} x \neq 2\\\\ f(2) \quad \text{αν} x=2 \end{cases}$

Επειδή η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\rr$ άρα θα είναι και συνεχής στο $x_{0} =2$ δηλαδή θα έχουμε:

$\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) =f(2)$

Υπολογίζουμε το όριο:

$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) =& \displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{(x-2)\cdot(x+2)}{x-2}= \\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{\cancel{(x-2)}\cdot(x+2)}{\cancel{x-2}}\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 2} (x+2)=2+2=4 \end{align*}$

Τελικά

$\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) =f(2)=4.$

Στον Παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε παρόμοιο λυμενο παράδειγμα Φ6/201

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

)Έστω η σνεχής συνάρτηση $\rr \to \rr$ για την οποία για κάθε $x\in \rr$ ισχύει:

$(x-3)\cdot f(x) = x^{2}- 9$

να βρεθεί η τιμή $f(3)$
)Έστω η σνεχής συνάρτηση $\rr \to \rr$ για την οποία για κάθε $x\in \rr$ ισχύει:

$x\cdot f(x) = x^{2} +5\cdot f(x)- 25$

να βρεθεί η τιμή $f(5)$
)Έστω η σνεχής συνάρτηση $\rr \to \rr$ για την οποία για κάθε $x\in \rr$ ισχύει:

$x\cdot f(x) = x^{2} +4\cdot f(x)- 7\cdot x +12$

να βρεθεί η τιμή $f(4).$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΟΤΗΤΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά