ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1471 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1471 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
5.2 Αριθμητική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

Είναι:

$\begin{eqnarray*} \omega &=& \alpha_3 - \alpha_2 \\ &=& (\kappa + 1)^2 - \kappa^2 \\ &=& (\kappa + 1 - \kappa)(\kappa + 1 + \kappa) \\ &=& 2\kappa + 1 ~(1) \end{eqnarray*}$

Άρα η διαφορά $\omega$ είναι περιττός αριθμός.
2.)
2a.)
Ισχύει ότι:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 = \alpha_1 + \omega &\xLeftrightarrow{(1)}& \kappa^2 = 2 + 2\kappa + 1 \\ &\Leftrightarrow& \kappa^2 - 2\kappa - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) \\ &=& 4 + 12 \\ &=& 16 > 0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} \kappa_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{2 \pm 4}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \\[5mm] \dfrac{2 - 4}{2} = -1 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Η τιμή $\kappa = - 1$ απορρίπτεται διότι πρέπει $\kappa > 1.$ Άρα $\kappa = 3.$ \\
Αντικαθιστούμε στη σχέση $(1)$ και βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} &\omega = 2 \cdot 3 + 1 \Leftrightarrow \omega = 7 \end{eqnarray*}$

2b.)
Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} \alpha_{\nu} = 1017 &\Leftrightarrow& \alpha_1 + (\nu - 1) \omega = 1017 \\ &\Leftrightarrow& 2 + (\nu - 1) 7 = 1017 \\ &\Leftrightarrow& 2 + 7\nu - 7 = 1017 \\ &\Leftrightarrow& 2\nu = 1022 \\ &\Leftrightarrow& \nu = 511 \end{eqnarray*}$

Άρα ο $511^{\text{ος}}$ όρος είναι ίσος με 1017.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1471 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά