Αρχείο κατηγορίας ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 σχόλια

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


Στις περιπτώσεις που ζητάμε την μονοτονία μιας συνάρτησης f, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της, αλλά γνωρίζουμε ότι η σύνθεση της με μια συνάρτηση g είναι ίση με μια συνάρτηση h.

    \[g\circ f = h.\]

Πρέπει να υπολογίσουμε την μονοτονία της g της h, οπότε θα είναι γνωστή και η μονοτονία της σύνθεσης τών συναρτήσεων f με g, δηλαδη της g\circ f.


Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Σχολιάστε

ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Για την απόδειξη ανισοτητων με τη μέθοδο της μονοτονίας ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • Διαχωρίζουμε τους όρους στα δύο μέλη έτσι ώστε σε κάθε μέλος να υπάρχει η ίδια παράμετρος.
  • Παρατηρούμε αν ορίζεται η ίδια συνάρτηση και στα δύο μέλη και η μόνη διαφορά τους είναι η διαφορετική παράμετρος.
  • Θεωρουμε την παραπάνω συνάρτηση ως προς f(x) και την μελετάμε ως προς τη μονοτονία.
  • Εφαρμόζουμε τον ορισμο της μονοτονίας για τις περιπτώσεις της γνησίως αύξουσας και γνησίως φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    2 σχόλια

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

    1 σχόλιο

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

    Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

    • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
    • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)\leq 0 ή f(x)\geq 0
    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
    • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα \rho της εξίσωσης f(x)=0, οπότε η ανίσωση γίνεται f(x)\leq f(\rho) ή f(x)\geq f(\rho)
    • Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της f.

    π.χ. αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    ή

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Σχολιάστε

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η C_{f} τέμνει τον άξονα x'x το πολύ μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα.
    Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση

        \[f(x)=0\]

    έχει το πολύ μία ρίζα. Έτσι η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως είναι μοναδική.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    1 σχόλιο

    Παράδειγμα.1
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}, \quad x > 0$ \\\\ $1-2x^3+e^{-x}, \quad x \leq 0$ \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    1 σχόλιο

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Για τον υπολογισμό της μονοτονίας μιας συνάρτησης με τη χρήση του ορισμού θα πρέπει να γνωρίζουμε τον λογισμό πράξεων μεταξύ διατάξεων

    Παράδειγμα.1
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

        \[f(x)=5-\sqrt{6-2x}.\]

    Λύση
    Η συνάρτηση f(x)=5-\sqrt{6-2x} ορίζεται όταν:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Σχολιάστε

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Μια συνάρτηση f λέγεται:
    Γνησίως αύξουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε x_{1},x_{2}\in \Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

        \[f(x_{1})<f(x_{2}).\]

    Γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε
    x_{1},x_{2}\in\Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

        \[f(x_{1})>f(x_{2}).\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →