Αρχείο ετικέτας ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0)$ , με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\geq \alpha x+\beta.$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κοίλη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0),$ με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται κάτω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\leq \alpha x+\beta.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ →

Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

25 Απριλίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta.$
Για να είναι η $f$ κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο $\Delta$ αρκεί να ισχύει $f''(x)\geq0$ (αντίστοιχα $f''(x)\leq0$ ) για κάθε $x\in\Delta$ και η ισότητα $f''(x)=0$ να ισχύει για διακεκριμένες τιμές του $x.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ →

Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

24 Απριλίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta,$ της οποίας ο τύπος περιέχει μια παράμετρο.
Αν θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου, ώστε η γραφική παράστσταση, $C_f,$ να έχει σημείο καμπής στο $x_0,$ τότε απαιτούμε να ισχύει

$f''(x_0)=0.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ →

Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

8 Απριλίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση $f$ πολλαπλού τύπου η οποία αλλάζει τύπο στο $x_0.$ Για να μελετήσουμε την $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής, εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

13 Φεβρουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$ . Θα λέμε ότι:

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο $\Delta$ αν η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $\Delta.$

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο $\Delta$ αν η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του $\Delta.$

ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta.$

Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta.$

Αν $f''(x)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι κοίλη στο $\Delta.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

Ν. Α. Διακόπουλος

Αρχείο ετικέτας ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 15

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΘΕΜΑ 16

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 17

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Φ10/204

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά