Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email
  • Αν είναι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0 και f(x) > 0 κοντά στο x_{0}, τότε

        \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =+\infty\]

  • Αν είναι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0 και f(x) < 0 κοντά στο x_{0}, τότε

        \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =-\infty\]

Απο τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει ότι:

  •     \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2\nu}} = +\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}^{*}\]

  •     \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{|x|} = +\infty\]

  •     \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}} = +\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}\]

  •     \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}} = -\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}\]

Δηλαδή το \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}} δεν  υπάρχει.

Παράδειγμα 1.
Να υπολογίσετε τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} \textlatin{i}\afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}$ &\textlatin{ii} \afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}$ &\textlatin{iii}\afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{|x-2|}$ \\ \end{tabular} \]

Λύση
i) Επειδή x^{2}>0 πολύ κοντά στο 0, έχουμε: \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}= +\infty.

ii) Έχουμε ότι

\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x^{5}}= -\infty αφού για x<0 το x^{5}<0.

Επίσης

\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x^{5}}= +\infty αφού για x>0 το x^{5}>0.

Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα μεταξύ τους τότε δεν υπάρχει το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}.\]

iii) Επειδή |x-2 |> 0 πολύ κοντά στο 2 έχουμε ότι

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{|x-2|} = + \infty.\]

Παράδειγμα 2.
Να υπολογισθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{x^{2}-6x +9}

Λύση

Παρατηρούμε ότι x^{2}-6x +9 =( x-3)^{2} για το οποίο ισχύει (x-3)^{2}>0 πολύ κοντά στο 3

Eπομένως έχουμε ότι

    \[\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{x^{2}-6x +9}=\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{(x-3)^{2}}=+\infty\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *