Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση


Ξέρουμε ότι μια συνάρτηση f: \mathbb{A}\to\rr λέγεται περιοδική με περίοδο T, αν και μονο εαν για κάθε x\in \mathbb{A} ισχύουν:

    \begin{align*} &*\,(x+T) \in \mathbb{A}\, \,\text{και} \,\,(x-T) \in\mathbb{A} \\ &*\,\, f(x+T)=f(x-T)=f(x) \end{align*}


Η συνάρτηση f:\rr \to \rr είναι περιοδική με περίοδο T, οπότε για κάθε x\in \rr ισχύει ότι:

    \[f(T+x)=f(T-x)=f(x)\]

Οπότε για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα περιοδικής συνάρτησης έχουμε:

    \[I= \int_{T}^{\alpha + T} f(x)\, dx.\]

Θέτουμε

    \[x-T=u \Rightarrow x=T+u.\]

Οπότε:

    \begin{align*} (x)'\, dx &=(T+u)' \, du \Rightarrow\\ dx &= du. \end{align*}

επίσης:
για x=T
και
x=T+u \Rightarrow T =T+u \Rightarrow u= T-T \Rightarrow u=0.
επίσης για
x=\alpha +T
και
x=T+u \Rightarrow \alpha +T=T+u \Rightarrow u= \alpha +T-T\Rightarrow u=\alpha.

Οπότε:

    \begin{align*} & \int_{T}^{\alpha + T} f(x)\, dx=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f(u+ T)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f( u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx. \end{align*}

Οπότε:

    \begin{align*} (1.)\Rightarrow & \int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx+\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx\Rightarrow \\\\ &\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= 2 \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα περιοδικής συνάρτησης έχουμε:

    \begin{align*} & \int_{\alpha}^{\alpha + T} f(x)\, dx=\\\\\ & \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx+\int_{T}^{\alpha + T} f(x)\, dx =\\ &{\text{ από παράδειγμα.1. έχουμε:}}\\ & \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx + \int_{0}^{\alpha}f( u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx + \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx =\int_{0}^{ T}f(x)\, dx. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *