Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 σχόλια
Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Η f(x)=x^3-3x έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με:

    \[f'(x)=3x^2-3\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &3x^2-3=0 \Leftrightarrow\\ &x^2-1=0 \Leftrightarrow\\ &x^2=1 \Leftrightarrow\\ &x=\pm 1 \end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \begin{align*} \small{ \begin{tabular}{r l c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $} &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 1$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 3x^2-3 $} & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$} & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f $} & & $ \nearrowtail$ &$ |$ & $ \searrowtail$ &$ | $ & $ \nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline % & & &T.M. & & T.E. & &\\ % % & & &$f(-1)=2$ & & $f(1)=-2 & & \end{tabular}} \end{align*}

Τελικά για την συνάρτηση f έχουμε:

    • f συνεχής στο (-\infty , -1] και
      f'(x)>0 στο (-\infty ,-1) άρα η
      f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty ,-1].
    • f συνεχής στο [-1 , 1] και
      f'(x)<0 στο (-1 ,1) άρα η
      f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1 ,1].
    • f συνεχής στο [1 , +\infty) και
      f'(x)>0 στο (1 , +\infty) άρα η
      f είναι γνησίως αύξουσα στο [1 , +\infty).

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *