ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39

Rendered by QuickLaTeX.com

Απάντηση

Επειδή η $f'(x)> 0$ για κάθε $x\in (\alpha, x_{0})$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$ τότε η $f$ θα είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, x_{0}].$ Έτσι έχουμε
$x\in (\alpha, x_{0}] \Leftrightarrow \alpha < x \leq x_{0} \Leftrightarrow f(x)\leq f(x_{0}) \quad (1)$

επιπλέον, επειδή η $f'(x)< 0$ για κάθε $x\in (x_{0}, \beta)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$ τότε η $f$ θα είναι γνησίως φθίνουσα στο $[x_{0}, \beta).$ Έτσι έχουμε

$x\in [x_{0}, \beta) \Leftrightarrow x_{0} \leq x \Leftrightarrow f(x_{0})\geq f(x) \quad (2)$

από τις σχέσεις $(1), (2)$ έχουμε ότι $f(x)\leq f(x_{0})$ για κάθε $x \in (\alpha, \beta)$ άρα το $f(x_{0})$ είναι μέγιστο της $f$ στο $(\alpha, \beta)$
Ομοίως
Έστω ότι
$f'(x)>0 \quad \text{για κάθε } \quad x \in (\alpha , x_{0}) \cup (x_{0}, \beta)$

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$ τότε θα είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα
από τα διαστήματα $(\alpha ,x_{0}]$ και $[x_{0}, \beta)$
δηλαδή για

$x_{1}<x_{0}< x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{0})< f(x_{2}).$

Άρα το $f(x_{0})$ δεν είναι τοπικό ακρότατο της $f.$
Θα δείξουμε τώρα ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,\beta).$
περίπτωση 1. Αν $x_{1},x_{2}\in (\alpha, x_{0}]$ τότε
επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, x_{0}]$ έχουμε

$f(x_{1}) < f(x_{2})$

περίπτωση 2. Αν $x_{1},x_{2}\in [x_{0}, \beta)$ τότε
επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_{0}, \beta)$ έχουμε

$f(x_{1}) < f(x_{2})$

περίπτωση 3. Αν $x_{1}<x_{0}< x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{0})< f(x_{2}).$ Τελικά η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, \beta)$
ομοίως αν $f'(x)<0$ στο $(\alpha, \beta)$

ΠΡΟΣΟΧΗ. Ο υποψήφιος των πανελλήνιων εξετάσεων θα πρέπει απλά να να συμβουλεύεται τη συγκεκριμένη ερώτηση – απάντηση θεωρίας και να διαβάζει τη θεωρία απο το σχολικό βιβλίο από το οποίο θα εξετασθεί.
Βιβλιογραφία:
1.) Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

2.)Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικά Γ. τάξης γενικού λυκείου ομάδα προσανατολισμού Β. μέρος.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά