ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Έστω $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης
$\lambda_{1}$ και $\lambda_{2}$ αντίστοιχα.
Αν τα διανύσματα $\vec{\delta_{1}}$ και $\vec{\delta_{2}}$ είναι παράλληλα προς τις $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ αντίστοιχα, τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:
$(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2}$

και

$(\epsilon_{1}) \perp (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} \lambda_{2} = -1$

Με τον συμβολισμό $(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2})$ εννοούμε ότι οι ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

Σημείωση

Αν μια ευθεία $(\epsilon)$ έχει εξίσωση $\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta$ τότε έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με $\lambda.$
Αν οι ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ έχουν συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_{1}$ και $\lambda_{2}$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:
$\bullet \,\,(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2}$

$\bullet \,\,(\epsilon_{1}) \perp (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \lambda_{1}\cdot \lambda_{2} = -1$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

α) ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία

$(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = (α^2+3α)\mathrm{x} + 4$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{1} = α^2+3α,$
ενώ η ευθεία

$(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = (α + 8)\mathrm{x} - 21$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{2} = α + 8.$
Έχουμε:

$(\epsilon_{1})\parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow$

$\lambda_{1} = \lambda_{2} \Leftrightarrow$

$α^2+3α = α + 8 \Leftrightarrow$

$α^2 + 2α - 8 = 0 \Leftrightarrow (α = 2 \,\text{ή}\, α = -4)$

Αφού το τριώνυμο $α^2 + 2α - 8 = 0$
έχει διακρίνουσα

$\Delta = 2^{2}-4\cdot 1 \cdot{(-8)}=+36$

και οι ρίζες του τριωνύμου θα δίνονται απο τον τύπο:

$\alpha_{1,2}=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$

$\begin{cases} \alpha_{1}=\dfrac{-2+ \sqrt{36}}{2}= \dfrac{-2+ 6}{2}=2\\\\ \alpha_{2}=\dfrac{-2- \sqrt{36}}{2} =\dfrac{-2- 6}{2}=-4 \\\\ \end{cases}$

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

β) ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία

$(\epsilon_{3}): \mathrm{y} = (α + 1)\mathrm{x} - 7$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{3} = α +1,$
ενώ η ευθεία

$(\epsilon_{4}): \mathrm{y} = \dfrac{(α - 3)\mathrm{x} + 13}{4} \Leftrightarrow \mathrm{y} = \frac{α - 3}{4} \mathrm{x} + \frac{13}{4}$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{4} = \dfrac{α - 3}{4}.$
Έχουμε:

$(\epsilon_{3} )\perp (\epsilon_{4}) \Leftrightarrow$

$\lambda_{3} \cdot \lambda_{4} = -1 \Leftrightarrow$

$(α + 1) \cdot \frac{α - 3}{4} = -1 \Leftrightarrow$

$(α + 1)(α - 3) = -4 \Leftrightarrow$

$α^2 + α - 3α - 3 = -4 \Leftrightarrow$

$α^2 + α - 3α - 3 +4= 0 \Leftrightarrow$

$α^2 -2α +1 = 0 \Leftrightarrow$

$(α -1)^2=0 \Leftrightarrow α = 1.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

α) ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

β) ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά