ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ

ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ
Έστω $(\epsilon)$ η ευθεία που διέρχεται από τα δύο σημεία $Α(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1})$ και $Β(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_2).$

Αν $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2},$ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της $(\epsilon)$ είναι:
$\lambda = \dfrac{\mathrm{y}_{2} - \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2} - \mathrm{x}_{1}}$
και η εξίσωσή της γίνεται:
$(\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{1} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{1}) \Leftrightarrow \mathrm{y} - \mathrm{y}_{1} = \frac{\mathrm{y}_{2} - \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2} - \mathrm{x}_{1}} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{1})$
Αν $\mathrm{x}_{1} = \mathrm{x}_{2},$ τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την $(\epsilon)$ και η εξίσωσή της είναι:
$(\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{1}$
Δηλαδή, η ευθεία $(\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{1}$ είναι παράλληλη στον $y',y.$

ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία $(\epsilon_{_{ΑΒ}}),$ που διέρχεται από τα σημεία $A(1,-4), Β(4,5)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης:

$\lambda_{AB} = \frac{\mathrm{y}_{B} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{B} - \mathrm{x}_{A}} = \frac{5 - (-4)}{4 - 1}=\frac{9}{3} = 3$

Για την εξίσωση της ευθείας $(\epsilon_{_{ΑΒ}}),$ επιλέγουμε ένα από τα δύο σημεία $Α,\,Β$ π.χ. το $A(1,-4)$ και έχουμε:\\

$A(1,-4)\in (\epsilon_{_{ΑΒ}}):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{AB} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A}) \Leftrightarrow$

$(\epsilon_{_{ΑΒ}}): \mathrm{y} - (-4) = 3 (\mathrm{x} - 1) \Leftrightarrow$

$(\epsilon_{_{ΑΒ}}): \mathrm{y} + 4 = 3 \mathrm{x} - 3 \Leftrightarrow$

$(\epsilon_{_{ΑΒ}}):\mathrm{y} = 3\mathrm{x} - 7.$

ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ

β) Παρατηρούμε ότι τα σημεία $Β(4,5)$ και $\Gamma(4,-2)$ έχουν την ίδια τετμημένη $\mathrm{x}_{B} = \mathrm{x}_{\Gamma} =4,$ οπότε για την ευθεία $(\epsilon_{_{Β\Gamma}})$ δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και η εξίσωσή της είναι:

$(\epsilon_{_{Β\Gamma}}):\mathrm{x} = 4.$

Σχόλιο: Η ευθεία $(\epsilon_{_{Β\Gamma}}):\mathrm{x} = 4,$ είναι ευθεία παράλληλη στον $y'y$ ( κατακόρυφη) και τέμνει κάθετα τον $x',x$ στο $x_{0}=4.$