ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

Έστω $(\epsilon): A\mathrm{x} + \Beta\mathrm{y} + \Gamma = 0$ μια ευθεία του Καρτεσιανού επιπέδου και $Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ ένα σημείο εκτός αυτής.
Η απόσταση του σημείου $\boldsymbol{M}$ από την ευθεία $\boldsymbol{(\epsilon)}$ συμβολίζεται με $d(M,\epsilon)$ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

$d(M,\epsilon) = \frac{\lvert A\mathrm{x}_{0} + B\mathrm{y}_{0} + \Gamma \rvert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α)

Η απόσταση του σημείου $Α(-2,3)$ από την ευθεία
$(\epsilon_{1}): \mathrm{x} + \mathrm{y} + 1 = 0$ με $A_{1}=1,\, B_{1}=1, \, \Gamma_{1}=1$ είναι:

$d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\lvert A_{1}\cdot \mathrm{x}_{A} + B_{1}\cdot\mathrm{y}_{A} + \Gamma_{1} \rvert}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}}}$

$d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\lvert -2 + 3 + 1 \rvert}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

β)

Η απόσταση του σημείου $Α(-2,3)$ από την ευθεία

$(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 3 \Leftrightarrow (\epsilon_{2}):2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 3 = 0$

με $A_{2}=2,\, B_{2}=-1, \, \Gamma_{2}=-3$ είναι:

$d(A,\epsilon_{2}) = \frac{\lvert A_{2}\cdot \mathrm{x}_{A} + B_{2}\cdot\mathrm{y}_{A} + \Gamma_{2} \rvert}{\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}$

$d(A,\epsilon_{2}) = \frac{\lvert 2\cdot(-2) +(-1)\cdot 3 -3 \rvert}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

γ)

Η απόσταση του σημείου $Α(-2,3)$ από την ευθεία

$(\epsilon_{3}): \frac{\mathrm{x}}{2} + \frac{\mathrm{y}}{3} = 1$

κάνοντα απαλοιφή παρονομαστών έχουμε:

$(\epsilon_{3}): 3\mathrm{x} + 2\mathrm{y} - 6 = 0$

με $A_{3}=3,\, B_{3}=2, \, \Gamma_{3}=-6$ είναι:

$d(A,\epsilon_{3}) = \frac{\lvert A_{3}\cdot \mathrm{x}_{A} + B_{3}\cdot\mathrm{y}_{A} + \Gamma_{3} \rvert}{\sqrt{A_{3}^{2} + B_{3}^{2}}}$

$d(A,\epsilon_{3}) = \frac{\lvert 3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 -6 \rvert}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

δ)
Η απόσταση του σημείου $Α(-2,3)$ από την ευθεία $(\epsilon_{4}): 5\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 1 = 0$ με
$A_{4}=5,\, B_{4}=3, \, \Gamma_{4}=1$ είναι:

$d(A,\epsilon_{3}) = \frac{\lvert A_{4}\cdot \mathrm{x}_{A} + B_{4}\cdot\mathrm{y}_{A} + \Gamma_{4} \rvert}{\sqrt{A_{4}^{2} + B_{4}^{2}}}$

$d(A,\epsilon_{4}) = \frac{\lvert 5\cdot(-2) + 3 \cdot 3 -6 \rvert}{\sqrt{5^{2} + 3^{2}}} = \frac{0}{\sqrt{34}} = 0$

Δηλαδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία $(\epsilon_{4}).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά