Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Ο Κύκλος

Εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο $\boldsymbol{Ο(0,0)}$

Έστω $Οxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Ο κύκλος $C$ με κέντρο την αρχή των αξόνων $Ο(0,0)$ και ακτίνα $\rho$ έχει εξίσωση:

$\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = \rho^{2}$

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(χ,ψ) του επιπέδου, που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από την αρχή των αξόνων είναι τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ

Απόδειξη
Ένα σημείο $Μ(\mathrm{x},\mathrm{y})$ ανήκει στον κύκλο $C,$ αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του $Ο(0,0)$ απόσταση ίση με $\rho,$ δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$OM = \rho \Leftrightarrow$

$\sqrt{(x_{M}-x_{0})^{2}-(y_{M}-y_0)^{2}}=\rho\Leftrightarrow$

$\sqrt{(x-0)^{2}-(y-0)^{2}}=\rho\Leftrightarrow$

$\sqrt{\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2}} = \rho \Leftrightarrow \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = \rho^{2}$

Μοναδιαίος κύκλος
Ο κύκλος με κέντρο $Ο(0,0)$ και ακτίνα $\rho =1$ λέγεται μοναδιαίος κύκλος και έχει εξίσωση:

$\boldsymbol{\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = 1}$

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α) Ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων $Ο(0,0)$ και ακτίνα $\rho = 3$ έχει εξίσωση:

$\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = 9$

β) Η ακτίνα του κύκλου είναι:

Το σημείο Α(3,-4) απέχει απόσταση ρ από το κέντρο του κύκλου Ο(0,0)

$\rho = OA = \sqrt{(0 - 3)^{2} + (0 + 4)^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Επομένως ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων $Ο(0,0)$ και ακτίνα $\rho = 5,$ άρα η εξίσωσή του είναι:

$\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} = 25.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά