ΚΥΚΛΟΣ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΥΧΑΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΚΥΚΛΟΣ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΥΧΑΙΟ ΣΗΜΕΙΟ
Εξίσωση κύκλου με κέντρο τυχαίο σημείο $\boldsymbol{K(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})}$

Ο γεωμετρικός τόπος, των σημείων Μ του επιπέδου χοψ, που ισαπέχουν απο το σταθερό σημείο Κ, απόσταση ίση με ρ, είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ και ακτίνα το ρ.

Έστω $Οxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Ο κύκλος $C$ με κέντρο το σημείο $K(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ και ακτίνα $\rho$ έχει εξίσωση:

$(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2} = \rho^{2}$

Απόδειξη
Ένα σημείο $Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ανήκει στον κύκλο $C,$ αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του $Κ(x_{0},y_{0})$ απόσταση ίση με $\rho,$ δηλαδή αν και μόνο άν ισχύει:

$(KM) = \rho \Leftrightarrow$

$\sqrt{(x_{M}-x_{0})^{2}-(y_{M}-y_{0})^{2}}=\rho\Leftrightarrow$

$\sqrt{(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2}} = \rho \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2} = \rho^{2}.$

Και γράφουμε:

$(C):(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2} = \rho^{2}.$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α)Ο κύκλος που έχει κέντρο $Κ(2,-3)$ και ακτίνα $\rho = 4$ έχει εξίσωση:

$(C):(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2} = \rho^{2} \Leftrightarrow$

$(C):(\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - (-3))^{2} = 4^{2} \Leftrightarrow$

$(C):(\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} + 3)^{2} = 16$

β)
Για να ορίσουμε την εξίσωση ενός κύκλου θα πρέπει να ξέρουμε το κέντρο του και την ακτίνα του.
Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο $K(-8,2)$ και το σημείο $A(4,-3)$ είναι σημείο της περιφέρειας του, τότε η ακτίνα του κύκλου θα είναι:

$\rho = (KA)$

$\sqrt{(x_{A}-x_{K})^{2}-(y_{A}-y_{K})^{2}}$

$\sqrt{(4 + 8)^{2} + (-3-2)^{2}} =$

$\sqrt{12^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{169} = 13$

Τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου απέχουν σταθερή απόσταση από το κέντρο του κύκλου ίση με την ακτίνα.

Άρα ο κύκλος έχει κέντρο $Κ(-8,2)$ και ακτίνα $\rho = 13,$ οπότε η εξίσωσή του είναι:

$(C):(\mathrm{x} - (-8))^{2} + (\mathrm{y} - 2)^{2} = 13^{2} \Leftrightarrow$

$(C):(\mathrm{x} + 8)^{2} + (\mathrm{y} - 2)^{2} = 169.$

ΚΥΚΛΟΣ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΥΧΑΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

γ)
Για να ορίσουμε την εξίσωση ενός κύκλου θα πρέπει να ξέρουμε το κέντρο του και την ακτίνα του.

Το κέντρο $Κ$ του κύκλου είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $ΑΒ,$ αφού $AB$ είναι η διάμετρος.
Απο τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου με $A(-6,14)$ και $Β(2,8)$ ισχύει ότι:

$\mathrm{x}_{K} = \frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{B}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$\mathrm{y}_{K} = \frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{B}}{2} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Άρα το κέντρο του κύκλου είναι το $Κ(-2,11).$

Επίσης η ακτίνα του κύκλου είναι:

$\rho =( KB)$

$\sqrt{(x_{ B}-x_{K})^{2}-(y_{A\B}-y_{K})^{2}}$

$\sqrt{(-2 - 2)^{2} + (11 - 8)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Το κέντρο του κύκλου είναι στο μέσο της διαμέτρου.

Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι:

$(C):(\mathrm{x} - (-2))^{2} + (\mathrm{y} - 11)^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow$

$(C):(\mathrm{x} + 2)^{2} + (\mathrm{y} - 11)^{2} = 25.$

δ)

Από την Ευκλείδεια Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη ενός κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής. Επομένως η ακτίνα του κύκλου θα ισούται με την απόσταση του κέντρου από την εφαπτομένη. Δηλαδή ισχύει ότι:
\begin{center}

$\rho =d(K, \epsilon) =$

$\dfrac{|A\cdot x_{K}+B\cdot y_{K}+\Gamma|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

$\frac{\lvert 4 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + 6 \rvert}{\sqrt{4^{2} + (-3)^{2}}} =$

$\frac{\lvert 12 -3 +6 \rvert}{\sqrt{16 + 9}} =\frac{\lvert 15 \rvert}{ \sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3.$

Άρα το κέντρο του κύκλου είναι το $Κ(3,1)$ και η ακτίνα του είναι $\rho = 3.$ Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι:

$(C):(\mathrm{x} - 3)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow$

$(C):(\mathrm{x} - 3)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 9.$

Η εφαπτομένη του κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα στο κοινό σημείο με τον κύκλο.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΥΚΛΟΣ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΥΧΑΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΚΥΚΛΟΣ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΥΧΑΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά