Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

  1. Έστω C ο μοναδιαίος κύκλος:
    1. Να βρείτε το \lambda, ώστε το σημείο M\bigg(\dfrac{1}{2}, 1\bigg), να ανήκει στον κύκλο C.
    2. Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων A\bigg(\dfrac{3}{4}, 1\bigg), και Β\bigg(\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}\bigg) ως προς τον κύκλο C.


  2. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν διέρχεται απο το σημείο Α(-2\sqrt{2}, 1),
    2. Όταν εφάπτεται της ευθείας \epsilon: 3x - 4y + 1 = 0.


  3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του μοναδιαίου κύκλου στο σημείο του Α(\eta\mu\theta, \sigma\upsilon\nu\theta).



  4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα \rho = 5, στο σημείο του Μ(3, \lambda), \lambda < 0.



  5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x^2 + y^2 = 2 σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda = 3.
    2. Όταν είναι κατακόρυφη.
    3. Όταν διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).



  6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x^2 + y^2 = 8, που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσον με 8.



  7. Έστω ο κύκλος C: 4x^2 + 4y^2 = 3.
    1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία \epsilon: x\sqrt{3} - 3y - 3 = 0 εφάπτεται στον κύκλο C
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ της ευθείας \epsilon με τον άξονα x'x και μετά την άλλη εφαπτομένη \eta του κύκλου C που διέρχεται από το Μ.
    3. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών \epsilon και \eta.



  8. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέτρου του μοναδιαίου κύκλου που είναι κάθετη στην ευθεία \epsilon: 2x + 3y - 1 = 0.



  9. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου C: x^2 + y^2 = 25.
    1. Όταν το σημείο Μ(1, 2) είναι μέσο της.
    2. Όταν διέρχεται από το σημείο (-1, 3) και έχει μήκος ίσο με 8.



  10. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν έχει κέντρο Κ(2, -3) και ακτίνα \rho = 5.
    2. Όταν έχει κέντρο Κ(1, -2) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
    3. Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία Α(-1, 2) και Β(3, 4).



  11. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν το κέντρο Κ ανήκει στην ευθεία \epsilon: y = 2x και διέρχεται από τα σημεία Α(1, -2), και Β(3, 0).
    2. Όταν έχει ακτίνα \rho = 5 και διέρχεται από τα σημεία Α(6, 2) και Β(0, 2).



  12. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν τέμνει τον άξονα y'y στα σημεία Α(0, 1) και Β(0, 3) και τον άξονα x'x στα σημεία Γ(2, 0) και Δ(\lambda, 0).
    2. Όταν διέρχεται από τα σημεία Α(-1, 2), Β(1, 0) και Γ(0, -2).



  13. Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου C του τριγώνου ΑΒΓ με Α(-2, 1), Β(1, 0) και Γ(1, 4).



  14. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν έχει κέντρο Κ(1, -3) και εφάπτεται στον άξονα x'x.
    2. Όταν εφάπτεται στον άξονα y'y στο σημείο Α(0, 3) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία \epsilon: y = 2x.
    3. Όταν διέρχεται από το σημείο Α(1, -2) και εφάπτεται στους άξονες x'x και y'y.


    15. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

  15. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
    1. Όταν έχει κέντρο Κ(2, -1) και εφάπτεται της ευθείας \epsilon: 5x - 12y - 1 = 0.
    2. Όταν εφάπτεται της ευθείας \epsilon: 4x - 3y + 6 = 0 στο σημείο τομής της με τον άξονα y'y και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία \eta: y = 2x.
    3. Όταν εφάπτεται της ευθείας \epsilon: x -y + 1 = 0 στο σημείο της Α(2, 3) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.



  16. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται των ευθειών \epsilon_1: 2x + y - 5 = 0 και \epsilon_2: 2x + y + 15 = 0 και το ένα σημείο επαφής είναι το Α(2, 1).



  17. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση:
    1. x^2 + y^2 - 10x + 2y + 22 = 0,
    2. x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0,
    3. x(x - 1) + (y + 1)(y - 3) = 0
    4. (x + y)^2 - 2y = 2x(\alpha + y),
    5. 2x^2 + 2y^2 - 4x + 1 = 0,
    6. (2x - 1)^2 + (2y + 3)^2 = 4.



  18. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που είναι ομόκεντρο του κύκλου C': x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0 και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.



  19. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων C_1: 4x^2 + 4y^2 = 1 και C_2: (x - 1)(x + 3) + y(y - 2) = 0.



  20. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου C: x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0, της οποία το ένα άκρο είναι το σημείο Α(1, 3). Ποιο είναι το άλλο άκρο της διαμέτρου.



  21. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \epsilon που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου C: x^2 + y^2 - 3x + y = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία \eta: x + 2y - 3 = 0.



  22. Να βρείτε τον κύκλο C που είναι ομόκεντρος με τον κύκλο 4x^2 + 4y^2 - 12x +8y + 9 = 0 και εφάπτεται της ευθείας 4x + 3y - 1 = 0.



  23. Έστω ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 2\lambda x + \mu - 1 = 0.
    1. Να βρείτε το \mu, ώστε ο κύκλος C να διέρχεται απο το σημείο Μ(0,1).
    2. Για \mu = 0, να βρείτε το \lambda, ώστε η ευθεία \epsilon: y = x - 1 να τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β και να ισχύει \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0.



  24. Έστω ότι ο κύκλος C διέρχεται από το Ο και η ευθεία \epsilon: x - y + 1 = 0 τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Α, Β ώστε να ισχύει \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0. Αν ο κύκλος έχει ακτίνα \rho = \sqrt{5}, να βρείτε την εξίσωσή του.



  25. Έστω ο κύκλος C: x^2 + y^2 - \lambda x - 2\lambda y + \kappa -1 = 0. Να βρείτε τα \kappa, \lambda, ώστε ο C να διέρχεται από την αρχήτ ων αξόνων και η ευθεία y = 3x + 1 να ορίζει στον κύκλο χορδή ΑΒ, ώστε \widehat{AOB} = 90^{\circ}.



  26. Αν η ευθεία \epsilon: y =2x τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Α(1, 2), Β και ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο Γ(3, 0) και ισχύει \overrightarrow{\Gamma A} \cdot \overrightarrow{\Gamma B} = 0, να βρείτε την εξίσωση του C.



  27. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(1, 2), Β(3, 2), Γ(3, 4), Δ(1, 4).
    1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0, παριστάνει το περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓΔ.
    2. Να αποδείξετε ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι του κύκλου αυτού.



  28. Δϊνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 4y = 0. Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω σημείων ως προς τον κύκλο C.
    1. A(\sqrt{3}, 3),
    2. B(1, 3),
    3. G(2, 1).



  29. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 2x = 0. Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω ευθειών με τον κύκλο C.
    1. \epsilon_1: 3x - 4y + 3 = 0,
    2. \epsilon_2: 3x - 4y + 1 = 0,
    3. \epsilon_3: 3x - 4y + 2 = 0.



  30. Να βρείτε την σχετική θέση των παρακάτω κύκλων C_1: x^2 + y^2 = 1, C_2: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = \alpha^2, όταν:
    1. \alpha = \sqrt{2},
    2. \alpha = \sqrt{5} - 1,
    3. \alpha = 1 + \sqrt{5},
    4. \alpha = 4,
    5. \alpha = 1.



  31. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(1, -2) που εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου C: x^2 + y^2 - 2x - 15 = 0.



  32. Δίνονται οι κύκλοι C_1: x^2 + y^2 = 1, C_2: x^2 + y^2 + 3x + 4y + \lambda = 0 και C_3: x^2 + y^2 - x - y + \lambda = 0. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε:
    1. Οι κύκλοι C_1, C_2 να εφάπτονται εξωτερικά.
    2. Οι κύκλοι C_1, C_2 να εφάπτονται εσωτερικά.
      li>



  33. Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων C_1: (x - 1)^2 + y^2 = 4 και C_2: x^2 + (y + 2)^2 = 1.



  34. Έστω ο κύκλος C: x^2 + (y - 1)^2 = 25. Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α(-3, 5).



  35. Δίνεται ο κύκλος C_1: (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25.
    1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης \epsilon του κύκλου στο σημείο του Α(-1, 5).
    2. Να δείξετε ότι η ευθεία \epsilon εφάπτεται του κύκλου C_2: x^2 + y^2 + 2x - 8 = 0.



  36. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 2x + 4y - 0. Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C.
    1. που έχουν συντελεστή διεύθυνσης \lambda = - 2,
    2. που διέρχονται από το σημείο Μ(1 + \sqrt{5}, 3).



  37. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C: x^2 + y^2 - 2x -6y + 9 = 0 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.



  38. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 -2\lambda x + \lambda^2 - 5 = 0.
    1. Να βρείτε το \lambda, ώστε ο κύκλος C να εφάπτεται στην ευθεία \epsilon: y = 2x - 7.
    2. Για \lambda = 1, να βρείτε την άλλη εφαπτομένη του κύκλου C που διέρχεται από το σημείο τομής της \epsilon με τον άξονα x'x.


    39. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

  39. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 = 3. Από το σημείο Μ(1, -2) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ στον κύκλο C. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ.



  40. Έστω οι ευθείες \epsilon: x\eta\mu\theta + y\sigma\upsilon\nu\theta = \sigma\upsilon\nu\theta και \eta: x\sigma\upsilon\nu\theta - y\eta\mu\theta = \eta\mu\theta. Να δείξετε ότι:
    1. οι ευθείες \epsilon και \eta τέμνονται,
    2. το σημείο τομής Μ,των \epsilon και \eta ανήκει σε κύκλο,
    3. αν μια ευθεία \zeta τέμνει τις \epsilon και \eta στα Α και Β, τότε \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0.



  41. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που φέρνουμε στον κύκλο C: x^2 + y^2 = 25 από το σημείο Α(-1, 7) είναι κάθετες.



  42. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 10 = 0. Να βρείτε τα σημεία του κύκλου που απέχουν τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Ο.



    1. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από τον κύκλο C_1: x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0.
    2. Αν τα σημεία Μ_1, Μ_2 διατρέχουν τους κύκλους C_1 (του προηγούμενου υποερωτήματος) και C_2: x^2 + y^2 + 2x = 0 αντίστοιχα, να βρείτε τη μέγιστη απόσταση αυτών.



  44. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 2x = 0 και το σημείο Α(3, 0). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α και την οξεία γωνία που σχηματίζουν αυτές.



  45. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: \lambda x + y + \mu = 0, ~\epsilon_2: 4x + \lambda y + 2 = 0 και ο κύκλος C: x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0. Να βρείτε τα \lambda και \mu, ώστε οι ευθείες \epsilon_1 και \epsilon_2 να είναι παράλληλες και να εφάπτονται του κύκλου C.



  46. Έστω ο κύκλος C: x^2 + y^2 = 3 και η ευθεία \epsilon: x + y + 4 = 0.
    1. Να δείξετε ότι ο κύκλος C και η ευθεία \epsilon δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
    2. Από ένα σημείο Μ της \epsilon φέρνουμε τις εφαπτόμενοες ΜΑ, ΜΒ στον κύκλο C όπου Α, Β τα σημεία επαφής. Αν το σημείο Μ κινείται στην ευθεία \epsilon, να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο.
    3. Αν το σημείο Μ διατρέχει τον κύκλο C, να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση του Μ από την \epsilon.



  47. Δίνεται η εξίσωση x^2 + y^2 - 2\lambda x + 1 = 0. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η προηγούμενη εξίσωση να παριστάνει κύκλο C και το κέντρο του να ανήκει στην ευθεία \epsilon: 3x - y + \lambda^2 = 0. Μετά να βρείτε τα σημεία του C που απέχουν τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από το Ο.



  48. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η εξίσωση \lambda(x^2 + y) + (y - 2x)(y + 2x) + 3 = 0 να παριστάνει κύκλο.



  49. Να βρείτε τις τιμές των \lambda, \mu ώστε η εξίσωση (\lambda^2 - 2\mu)x^2 - (\mu^2 + 1)y^2 + \lambda x + 4\mu y = 0 να παριστάνει κύκλο.



  50. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η εξίσωση \lambda(x^2 + 2y^2) + (y - 2x + 1)(y + 2x + 3) = 0 να παριστάνει κύκλο.



  51. Να βρείτε τις τιμές των \alpha, \beta, ώστε η εξίσωση (\alpha + 1)x^2 + (\alpha + \beta)y^2 - \alpha\beta xy - 2x = 0 να παριστάνει κύκλο.



  52. Δίνεται η εξίσωση (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2\lambda(x + 2y - 5), ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση.
    3. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση, διέρχονται από σταθερό σημείο.



  53. Δίνονται οι κύκλοι C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 και C_2: x^2 + y^2 = 1
    1. Να δείξετε ότι οι C_1, C_2 εφάπτονται.
    2. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Μ(x_0, y_0) τέτοιο ώστε (x_0 - 3)^2 + y^2_0 \leq 4 και x^2_0 + y^2_0 \leq 1.
    3. Αν τα Μ_1, Μ_2 διατρέχουν τους κύκλους C_1, C_2 αντίστοιχα, να βρείτε τη μέγιστη απόσταση αυτών.



  54. Δίνεται η εξίσωση C_{\lambda}: x^2 + y^2 - 6x + 5 + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0, ~\lambda \in\mathbb{R}.
    1. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
    2. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο.
    3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων C_{\lambda}.



  55. Δίνεται η οικογένεια των κύκλων C_{\lambda}: x^2 + y^2 - 5 = 2\lambda(x - 1), ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C_{\lambda} διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.
    2. Να βρείτε την κοινή χορδή όλων των κύκλων C_{\lambda}.



  56. Δίνεται η εξίσωση C_{\lambda}: x^2 + y^2 - 2x + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
    2. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων.
    3. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.
    4. Να βρείτε την κοινή χορδή όλων των κύκλων που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση.



  57. Έστω η ευθεία \epsilon: \alpha x + \beta y = 0 και η εξίσωση x^2 + y^2 - 2\alpha x - 2\beta y = 0. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο C και ότι η ευθεία \epsilon εφάπτεται του C.



  58. Έστω η εξίσωση x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0 με B^2 > 4\Gamma.
    1. Να δείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο που τέμνει τον άξονα y'y σε δύο σημεία Μ και Ν.
    2. Να δείξετε ότι (ΜΝ) = \sqrt{B^2 - 4\Gamma}.



  59. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτομένες προς τον κύκλο C: x^2 + y^2 = 4 είναι κάθετες.



  60. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτομένες προς τον κύκλο C: x^2 + y^2 - 2y= 0 είναι κάθετες.



  61. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C: x^2 + y^2 = 169, που διέρχονται από το σημείο Α(-4, 2).



  62. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C: x^2 + y^2 - 2x = 0, που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.



  63. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C: x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0, που διέρχονται από το σημείο Α\bigg(\dfrac{1}{2}, 1\bigg).



  64. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α(-1, 2) και Β(0, 1) είναι ίσος με 3.


    65. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

  65. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο Α(1, 0) είναι ίσο με το εξαπλάσιο της απόστασης από την ευθεία y = 1.



  66. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1, 2), Β(1, 4) και Γ(3, 0). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει: |\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{A\Gamma}|.



  67. Έστω τα σημεία Α(1, -2), Β(0, 1). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει: \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 = 3\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.



  68. Δίνονται τα σημεία Α(-1, 2) και Β(0, 3). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, ώστε
    1. \overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB},
    2. \widehat{AMB} = 90^{\circ}.



  69. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 + 6x = 0. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων που έχουν ακτίνα \rho = 2 και εφάπτονται του κύκλου C.
    1. Εξωτερικά,
    2. Εσωτερικά.



  70. Δίνονται τα σημεία Α(1, -2) και Β(-3, 4). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ το υεπιπέδου, ώστε \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MA}^2.



  71. Δίνονται τα σημεία Α(4, 6), Β(2, 8) και Γ το μέσον του ΑΒ, Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει \overrightarrow{OM}^2 = 2\overrightarrow{O\Gamma} \cdot \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}.



  72. Δίνεται το σημείο Α(3, 0). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει \overrightarrow{OM} \cdot (\overrightarrow{OM} - 2\overrightarrow{OA}) = 7.



  73. Δίνεται ο κύκλος C: x^2 + y^2 = 4 και η χορδή του ΑΒ με Α(1, \mu), \mu > 0. Όταν το σημείο Β κινείται, να βρείτε που κινείται το σημείο Μ, για το οποίο ισχύει \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{BA}.



  74. Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο C: x^2 + y^2 = 2, να βρείτε που κινείται το σημείο Ν, για το οποίο ισχύει \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OM}.



  75. Να δείξετε ότι το σημείο Μ(1 – \sigma\upsilon\nu\theta, 2 + \eta\mu\theta), \theta \in \mathbb{R} κινείται σε κύκλο C.



  76. Να δείξετε ότι, για κάθε \theta \in \mathbb{R} τα σημεία Μ(1 + 3\eta\mu\theta, 3\sigma\upsilon\nu\theta – 2) βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.



  77. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x, y), για τα οποία το διάνυσμα \vec{\nu} = (\overrightarrow{OM}^2 - 1, 2y) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \dfrac{\pi}{6}.



  78. Έστω ότι μια οικογένεια ευθειών έχει εξίσωση (\lambda^2 - 1)x + 2\lambda y + 2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία διέρχεται μία, μόνο, ευθεία που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση.


Βιβλιογραφία:
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *