ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1370 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1370 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Η πρόοδος που έχει δοθεί είναι αριθμητική με $\alpha_1 = 1$ και $\omega = 1.$ Τότε:
$\begin{align*} S_{\nu} = & ~\dfrac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1) \omega] = \\[3mm] & ~\dfrac{\nu}{2}[2 \cdot 1 + (\nu - 1) \cdot 1] = \\[3mm] & ~\dfrac{\nu}{2}(2 + \nu - 1) = \\[3mm] & ~\dfrac{\nu}{2}(1 + \nu) = \\[3mm] & ~\dfrac{\nu + \nu^2}{2} \end{align*}$
Είναι:
$\begin{align*} S_{\nu} = & ~45 \Leftrightarrow \dfrac{\nu + \nu^2}{2} = 45 \Leftrightarrow \\[3mm] & ~\nu^2 + \nu = 45 \cdot 2 \Leftrightarrow \\[3mm] & ~\nu^2 + \nu - 90 = 0 \end{align*}$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 >0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm 19}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-1 + 19}{2} = 9\\[5mm] \dfrac{-1 - 19}{2} = -10 \end{array}\right.$

Η τιμή $\nu = -10$ απορρίπτεται. Επομένως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε $9$ διαδοχικούς θετικούς ακέραιους για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό $45.$

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος