ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1346 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - \lambda x + (\lambda^2 + \lambda - 1)$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -\lambda, ~\gamma = \lambda^2 + \lambda - 1$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha \gamma = (-4)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 16 + 48 = 64 > 0$

και ρίζες τις:

$\lambda_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{4 \pm 8}{-6} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{4 + 8}{-6} = -2\\[5mm] \dfrac{4 - 8}{6} = \dfrac{2}{3} \end{array}\right.$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ $-3\lambda^{2}-4\lambda +4$

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ $-3\lambda^{2}-4\lambda +4$

Επομένως ισχύει:

$-\lambda^2 - 4\lambda + 4 \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq \lambda \leq \dfrac{2}{3} \lambda \in \bigg[-2, \dfrac{2}{3}\bigg] \quad (1)$

2.) Από τους τύπους του Vieta βρίσκουμε:

$S = -\dfrac{\beta}{\alpha} = - \dfrac{-\lambda}{1} = \lambda$

και

$P = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda^2 + \lambda - 1}{1} = \lambda^2 + \lambda - 1$

Τότε:

$\begin{align*} & ~S^2 - P - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \\\\ &\lambda^2 - \lambda^2 - \lambda + 1 - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \\\\ & ~-\lambda - 1 \geq 0 \Leftrightarrow -\lambda \geq 1 \Leftrightarrow \\\\ &\lambda \leq -1 \quad (2) \end{align*}$

Από τη συναλήθευση των $(1)$ και $(2)$ έχουμε $\lambda \in [-2, -1].$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1346 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά