ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1266 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
5.2 Αριθμητική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 2 \beta x + \beta^2 - 4$ έχει διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma$

$\Delta =(-2 \beta)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\beta^2 - 4)$

$\Delta =4 \beta^2 - 4 \beta^2 + 16 = 16 > 0$

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$x_{1, 2}= \dfrac{-(-2 \beta) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

$x_{1, 2}= \dfrac{2 \beta \pm 4}{2}$

$x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2\beta + 4}{2} = \beta + 2\\[5mm] \dfrac{2\beta - 4}{2} = \beta - 2 \end{array}\right.$

Σημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:

Η $x_1 = \beta + 2$ είναι ρίζα της (1), διότι την επαληθεύει:

$(\beta + 2)^2 - 2 \beta (\beta + 2) + \beta^2 - 4 =$

$\beta^2 + 4\beta + 4 - 2\beta^2 - 4\beta + \beta^2 -4 = 0$

Ομοίως η $x_2 = \beta - 2$ είναι ρίζα της (1), διότι την επαληθεύει:

$(\beta - 2)^2 - 2 \beta (\beta - 2) + \beta^2 - 4 =$

$\beta^2 - 4\beta + 4 - 2\beta^2 + 4\beta + \beta^2 -4 = 0$

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες της, τα $x_1, x_2$ με $x_1 \neq x_2.$

2.) Οι αριθμοί $\beta - 2, ~\beta, ~\beta + 2,$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι $\beta - (\beta - 2) = 2$ και $(\beta + 2) - \beta = 2,$ δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό $\omega = 2.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1266 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά