ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1265 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha \gamma$

$\Delta= (-5\beta)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2\beta^2$

$\Delta= 25\beta^2 - 16\beta^2$

$\Delta= 9\beta^2 > 0$

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$x_{1, 2} = \dfrac{-(-5\beta) \pm \sqrt{9\beta^2}}{2 \cdot 2}$

$x_{1, 2} = \dfrac{5\beta \pm 3\beta}{4}$

$x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{5\beta + 3\beta}{4} = 2\beta\\[5mm] \dfrac{5\beta - 3\beta}{4} = \dfrac{\beta}{2} \end{array}\right.$

Σημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η $x_1 = 2\beta$ είναι ρίζα της (1) διότι την επαληθεύει:

$2(2 \beta)^2 - 5\beta (2 \beta) + 2 \beta^2 =$

$8\beta^2 - 10 \beta^2 + 2 \beta^2 = 0$

Ομοίως η $x_2 = \dfrac{\beta}{2}$ είναι ρίζα της (1), διότι την επαληθεύει:

$2\bigg(\dfrac{\beta}{2}\bigg)^2 - 5\beta \bigg(\dfrac{\beta}{2}\bigg) + 2\beta^2 =$

$2 \dfrac{\beta^2}{4} - 5 \dfrac{\beta^2}{2} + 2 \beta^2 =$

$\dfrac{\beta^2}{2} - \dfrac{5 \beta^2}{2} + 2 \beta^2 =$

$\dfrac{-4\beta^2}{2} + 2\beta^2 = 0.$

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες της, τα $x_1, x_2$ με $x_1 \neq x_2.$

2.) Οι αριθμοί $2 \beta, ~\beta, ~\dfrac{\beta}{2}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, διότι:

$\dfrac{\beta}{2 \beta} = \dfrac{1}{2} \quad \text{και} \quad \dfrac{\frac{\beta}{2}}{\beta} = \dfrac{\beta}{2 \beta} = \dfrac{1}{2}$

δηλαδή ο λόγος ( $\lambda$ ) των όρων με τη σειρά που δίνονται είναι σταθερός, $\lambda = \dfrac{1}{2}.$

Ν. Α. Διακόπουλος